Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem14 35646
Description: Lemma for lcfr 35675. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a + = (+g𝑈)
lcf1o.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcf1o.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z 0 = (0g𝑈)
lcf1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q 𝑄 = (0g𝐷)
lcf1o.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcf1o.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem10.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem14.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem14 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) = (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,𝑋   𝑥, +   𝑥,𝑅   + ,𝑘,𝑣,𝑤   ,𝑘,𝑣   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑓   + ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐿   ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝑉,𝑥   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem14
StepHypRef Expression
1 lcf1o.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcf1o.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcf1o.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcf1o.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcf1o.a . . . . 5 + = (+g𝑈)
6 lcf1o.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
7 lcf1o.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8 lcf1o.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
9 lcf1o.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
10 lcf1o.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 lcf1o.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcf1o.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcf1o.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐷)
14 lcf1o.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 lcf1o.j . . . . 5 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
16 lcflo.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 lcfrlem10.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lcfrlem11 35643 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑋)) = ( ‘{𝑋}))
19 lcfrlem14.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
2017eldifad 3551 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2120snssd 4280 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
221, 3, 2, 4, 19, 16, 21dochocsp 35469 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ‘{𝑋}))
2318, 22eqtr4d 2646 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑋)) = ( ‘(𝑁‘{𝑋})))
2423fveq2d 6091 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) = ( ‘( ‘(𝑁‘{𝑋}))))
25 eqid 2609 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
261, 3, 4, 19, 25dihlsprn 35421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2716, 20, 26syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
281, 25, 2dochoc 35457 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
2916, 27, 28syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
3024, 29eqtrd 2643 1 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  {crab 2899  cdif 3536  {csn 4124  cmpt 4637  ran crn 5028  cfv 5789  crio 6487  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  Scalarcsca 15719   ·𝑠 cvsca 15720  0gc0g 15871  LSpanclspn 18740  LFnlclfn 33145  LKerclk 33173  LDualcld 33211  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  DIsoHcdih 35318  ocHcoch 35437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-lsm 17822  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-lsatoms 33064  df-lshyp 33065  df-lfl 33146  df-lkr 33174  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tgrp 34832  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dveca 35092  df-disoa 35119  df-dvech 35169  df-dib 35229  df-dic 35263  df-dih 35319  df-doch 35438  df-djh 35485
This theorem is referenced by:  lcfrlem15  35647  lcfrlem31  35663
  Copyright terms: Public domain W3C validator