Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem2 37149
Description: Lemma for lcfr 37191. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
lcfrlem2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿𝐻))

Proof of Theorem lcfrlem2
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
2 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 lcfrlem1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
4 lcfrlem2.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
5 lcfrlem1.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
6 lcfrlem1.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐷)
7 lcfrlem1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 lcfrlem1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
9 lveclmod 19154 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
111lmodring 18919 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
131lvecdrng 19153 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
147, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
15 lcfrlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
16 lcfrlem1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑈)
171, 2, 16, 3lflcl 34669 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
187, 8, 15, 17syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
19 lcfrlem1.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
20 lcfrlem1.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑆)
21 lcfrlem1.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invr𝑆)
222, 20, 21drnginvrcl 18812 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2314, 18, 19, 22syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
24 lcfrlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝐹)
251, 2, 16, 3lflcl 34669 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
267, 24, 15, 25syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
27 lcfrlem1.q . . . . . . . 8 × = (.r𝑆)
282, 27ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2912, 23, 26, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 29lkrss 34773 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))
313, 1, 2, 5, 6, 10, 29, 8ldualvscl 34744 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
32 ringgrp 18598 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
34 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
352, 34ringidcl 18614 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
3612, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
37 eqid 2651 . . . . . . . 8 (invg𝑆) = (invg𝑆)
382, 37grpinvcl 17514 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (1r𝑆) ∈ (Base‘𝑆)) → ((invg𝑆)‘(1r𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
3933, 36, 38syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑆)‘(1r𝑆)) ∈ (Base‘𝑆))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 31, 39lkrss 34773 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
4130, 40sstrd 3646 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
42 sslin 3872 . . . 4 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))) → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
44 eqid 2651 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
453, 1, 2, 5, 6, 10, 39, 31ldualvscl 34744 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) ∈ 𝐹)
463, 4, 5, 44, 10, 24, 45lkrin 34769 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿‘(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
4743, 46sstrd 3646 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
48 lcfrlem1.h . . . 4 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
4948fveq2i 6232 . . 3 (𝐿𝐻) = (𝐿‘(𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))
50 lcfrlem1.m . . . . 5 = (-g𝐷)
511, 37, 34, 3, 5, 44, 6, 50, 10, 24, 31ldualvsub 34760 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)) = (𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))))
5251fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))) = (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))))
5349, 52syl5req 2698 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸(+g𝐷)(((invg𝑆)‘(1r𝑆)) · (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)))) = (𝐿𝐻))
5447, 53sseqtrd 3674 1 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cin 3606  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  1rcur 18547  Ringcrg 18593  invrcinvr 18717  DivRingcdr 18795  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690  LDualcld 34728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lvec 19151  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729
This theorem is referenced by:  lcfrlem35  37183
  Copyright terms: Public domain W3C validator