Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem20 35668
Description: Lemma for lcfr 35691. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem20.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem20 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem20
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lcfrlem17.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 eqid 2605 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 35216 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
8 lcfrlem17.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3547 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
10 lcfrlem17.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3547 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
121, 2, 3, 7, 9, 11lsmpr 18852 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
1312ineq1d 3770 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
14 eqid 2605 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15 eqid 2605 . . 3 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
16 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
174, 5, 6dvhlvec 35215 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
18 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
20 lcfrlem17.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
21 lcfrlem17.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
224, 18, 5, 1, 20, 19, 2, 16, 6, 8, 10, 21lcfrlem17 35665 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
234, 18, 5, 1, 19, 15, 6, 22dochsnshp 35559 . . 3 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
241, 2, 19, 16, 7, 8lsatlspsn 33097 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
251, 2, 19, 16, 7, 10lsatlspsn 33097 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ 𝐴)
26 lcfrlem20.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
271, 20lmodvacl 18642 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
287, 9, 11, 27syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2928snssd 4276 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
304, 5, 1, 14, 18dochlss 35460 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 29, 30syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
321, 14, 2, 7, 31, 9lspsnel5 18758 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
3326, 32mtbid 312 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
3414, 3, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 21, 33lshpat 33160 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
3513, 34eqeltrd 2683 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  cdif 3532  cin 3534  wss 3535  {csn 4120  {cpr 4122  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865  LSSumclsm 17814  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  LSpanclspn 18734  LSAtomsclsa 33078  LSHypclsh 33079  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  ocHcoch 35453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-oppg 17541  df-lsm 17816  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lsp 18735  df-lvec 18866  df-lsatoms 33080  df-lshyp 33081  df-lcv 33123  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tgrp 34848  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dveca 35108  df-disoa 35135  df-dvech 35185  df-dib 35245  df-dic 35279  df-dih 35335  df-doch 35454  df-djh 35501
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  35669
  Copyright terms: Public domain W3C validator