Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem21 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem21 35668
Description: Lemma for lcfr 35690. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem21 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem21
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.p . . 3 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
109adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13 lcfrlem17.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 lcfrlem17.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1615adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17 simpr 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17lcfrlem20 35667 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
191, 3, 9dvhlmod 35215 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2011eldifad 3546 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
2113eldifad 3546 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
224, 5lmodcom 18673 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2319, 20, 21, 22syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
2423sneqd 4131 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑋)})
2524fveq2d 6087 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
2625eleq2d 2667 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ↔ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
2726biimprd 236 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}) → 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
2827con3dimp 455 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
29 prcom 4205 . . . . . . . 8 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3029fveq2i 6086 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋})
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑋}))
3231, 25ineq12d 3771 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
3332adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})))
349adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3513adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3611adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3715necomd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
3837adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
39 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)}))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 38, 39lcfrlem20 35667 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑌, 𝑋}) ∩ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) ∈ 𝐴)
4133, 40eqeltrd 2682 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑌 + 𝑋)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
4228, 41syldan 485 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15lcfrlem19 35666 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
4418, 42, 43mpjaodan 822 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  cdif 3531  cin 3533  {csn 4119  {cpr 4121  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  0gc0g 15864  LModclmod 18627  LSpanclspn 18733  LSAtomsclsa 33077  HLchlt 33453  LHypclh 34086  DVecHcdvh 35183  ocHcoch 35452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-riotaBAD 33055
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-undef 7258  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-0g 15866  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-preset 16692  df-poset 16710  df-plt 16722  df-lub 16738  df-glb 16739  df-join 16740  df-meet 16741  df-p0 16803  df-p1 16804  df-lat 16810  df-clat 16872  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-cntz 17514  df-oppg 17540  df-lsm 17815  df-cmn 17959  df-abl 17960  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-invr 18436  df-dvr 18447  df-drng 18513  df-lmod 18629  df-lss 18695  df-lsp 18734  df-lvec 18865  df-lsatoms 33079  df-lshyp 33080  df-lcv 33122  df-oposet 33279  df-ol 33281  df-oml 33282  df-covers 33369  df-ats 33370  df-atl 33401  df-cvlat 33425  df-hlat 33454  df-llines 33600  df-lplanes 33601  df-lvols 33602  df-lines 33603  df-psubsp 33605  df-pmap 33606  df-padd 33898  df-lhyp 34090  df-laut 34091  df-ldil 34206  df-ltrn 34207  df-trl 34262  df-tgrp 34847  df-tendo 34859  df-edring 34861  df-dveca 35107  df-disoa 35134  df-dvech 35184  df-dib 35244  df-dic 35278  df-dih 35334  df-doch 35453  df-djh 35500
This theorem is referenced by:  lcfrlem22  35669  lcfrlem40  35687
  Copyright terms: Public domain W3C validator