Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem36 37184
 Description: Lemma for lcfr 37191. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 37165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3619 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 36987 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
16 lcfrlem22.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
17 lcfrlem24.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
18 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
19 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑆)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
23 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
24 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
26 lcfrlem29.i . . . . . 6 𝐹 = (invr𝑆)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
28 lcfrlem30.c . . . . . 6 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 37183 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿𝐶))
3029fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ( ‘(𝐿𝐶)))
3115, 30eqtr3d 2687 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)))
32 eqimss 3690 . . 3 ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
3331, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
34 eqid 2651 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 6dvhlmod 36716 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 eqid 2651 . . . . 5 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 37178 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (LFnl‘𝑈))
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 34701 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉)
391, 2, 4, 34, 3dochlss 36960 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
406, 38, 39syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 19043 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶))))
4233, 41mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  -gcsg 17471  invrcinvr 18717  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LSAtomsclsa 34579  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690  LDualcld 34728  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  ocHcoch 36953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001 This theorem is referenced by:  lcfrlem37  37185
 Copyright terms: Public domain W3C validator