Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem36 35668
Description: Lemma for lcfr 35675. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 35649 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3551 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 35471 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
16 lcfrlem22.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
17 lcfrlem24.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
18 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
19 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑆)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
23 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
24 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
26 lcfrlem29.i . . . . . 6 𝐹 = (invr𝑆)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
28 lcfrlem30.c . . . . . 6 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 35667 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿𝐶))
3029fveq2d 6091 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ( ‘(𝐿𝐶)))
3115, 30eqtr3d 2645 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)))
32 eqimss 3619 . . 3 ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = ( ‘(𝐿𝐶)) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
3331, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶)))
34 eqid 2609 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 6dvhlmod 35200 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 eqid 2609 . . . . 5 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 35662 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (LFnl‘𝑈))
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 33184 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉)
391, 2, 4, 34, 3dochlss 35444 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐶) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
406, 38, 39syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐶)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 18764 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ( ‘(𝐿𝐶))))
4233, 41mpbird 245 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  {csn 4124  {cpr 4126  cmpt 4637  cfv 5789  crio 6487  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  .rcmulr 15717  Scalarcsca 15719   ·𝑠 cvsca 15720  0gc0g 15871  -gcsg 17195  invrcinvr 18442  LSubSpclss 18701  LSpanclspn 18740  LSAtomsclsa 33062  LFnlclfn 33145  LKerclk 33173  LDualcld 33211  HLchlt 33438  LHypclh 34071  DVecHcdvh 35168  ocHcoch 35437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-0g 15873  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-subg 17362  df-cntz 17521  df-oppg 17547  df-lsm 17822  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-oppr 18394  df-dvdsr 18412  df-unit 18413  df-invr 18443  df-dvr 18454  df-drng 18520  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-lsp 18741  df-lvec 18872  df-lsatoms 33064  df-lshyp 33065  df-lcv 33107  df-lfl 33146  df-lkr 33174  df-ldual 33212  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586  df-lvols 33587  df-lines 33588  df-psubsp 33590  df-pmap 33591  df-padd 33883  df-lhyp 34075  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192  df-trl 34247  df-tgrp 34832  df-tendo 34844  df-edring 34846  df-dveca 35092  df-disoa 35119  df-dvech 35169  df-dib 35229  df-dic 35263  df-dih 35319  df-doch 35438  df-djh 35485
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  35669
  Copyright terms: Public domain W3C validator