Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem37 37185
Description: Lemma for lcfr 37191. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem28.jn (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invr𝑆)
lcfrlem30.m = (-g𝐷)
lcfrlem30.c 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
lcfrlem37.g (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
lcfrlem37.gs (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
lcfrlem37.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem37.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem37.ye (𝜑𝑌𝐸)
Assertion
Ref Expression
lcfrlem37 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0   𝑓,𝐽   𝑓,𝐿   ,𝑓   + ,𝑓   𝑅,𝑓   · ,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥,𝑔   𝐶,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑘   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝐽,𝑘   𝑔,𝐿,𝑘   ,𝑔   + ,𝑔   𝑄,𝑔,𝑘   𝑈,𝑘   𝑔,𝑉   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔,𝑘   𝑣,𝑔,𝑤,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   · (𝑔)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem37
StepHypRef Expression
1 lcfrlem30.c . . . . 5 𝐶 = ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
2 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
3 lcfrlem30.m . . . . . 6 = (-g𝐷)
4 eqid 2651 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
5 lcfrlem17.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 lcfrlem17.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 lcfrlem17.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7dvhlmod 36716 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 lcfrlem37.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
10 lcfrlem17.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11 lcfrlem17.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
13 lcfrlem24.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
14 lcfrlem24.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
15 lcfrlem24.r . . . . . . 7 𝑅 = (Base‘𝑆)
16 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
17 eqid 2651 . . . . . . 7 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
18 lcfrlem24.l . . . . . . 7 𝐿 = (LKer‘𝑈)
19 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
20 eqid 2651 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
21 lcfrlem24.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
22 lcfrlem37.gs . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
23 lcfrlem37.e . . . . . . 7 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
24 lcfrlem37.xe . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐸)
25 lcfrlem17.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
26 eldifsni 4353 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋0 )
28 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐸𝑋0 ))
2924, 27, 28sylanbrc 699 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
305, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 29lcfrlem16 37164 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
31 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
32 lcfrlem17.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
33 lcfrlem17.a . . . . . . . 8 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
34 lcfrlem17.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 lcfrlem17.ne . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
36 lcfrlem22.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
37 lcfrlem24.q . . . . . . . 8 𝑄 = (0g𝑆)
38 lcfrlem24.ib . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝐵)
39 lcfrlem28.jn . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ 𝑄)
40 lcfrlem29.i . . . . . . . 8 𝐹 = (invr𝑆)
415, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40lcfrlem29 37177 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼)) ∈ 𝑅)
42 lcfrlem37.ye . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐸)
43 eldifsni 4353 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑌0 )
4434, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌0 )
45 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝐸𝑌0 ))
4642, 44, 45sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
475, 10, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 19, 20, 21, 7, 4, 9, 22, 23, 46lcfrlem16 37164 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ 𝐺)
4814, 15, 2, 31, 4, 8, 9, 41, 47ldualssvscl 34763 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)) ∈ 𝐺)
492, 3, 4, 8, 9, 30, 48ldualssvsubcl 34764 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝑋) (((𝐹‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) ∈ 𝐺)
501, 49syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑𝐶𝐺)
515, 10, 6, 11, 12, 16, 32, 33, 7, 25, 34, 35, 36, 13, 14, 37, 15, 21, 38, 18, 2, 39, 40, 3, 1lcfrlem36 37184 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶)))
52 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐶 → (𝐿𝑔) = (𝐿𝐶))
5352fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐶 → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿𝐶)))
5453eleq2d 2716 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))))
5554rspcev 3340 . . . 4 ((𝐶𝐺 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝐶))) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5650, 51, 55syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
57 eliun 4556 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5856, 57sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5958, 23syl6eleqr 2741 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212   ciun 4552  cmpt 4762  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  -gcsg 17471  invrcinvr 18717  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LSAtomsclsa 34579  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690  LDualcld 34728  HLchlt 34955  LHypclh 35588  DVecHcdvh 36684  ocHcoch 36953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-undef 7444  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lsatoms 34581  df-lshyp 34582  df-lcv 34624  df-lfl 34663  df-lkr 34691  df-ldual 34729  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764  df-tgrp 36348  df-tendo 36360  df-edring 36362  df-dveca 36608  df-disoa 36635  df-dvech 36685  df-dib 36745  df-dic 36779  df-dih 36835  df-doch 36954  df-djh 37001
This theorem is referenced by:  lcfrlem38  37186
  Copyright terms: Public domain W3C validator