Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem38 37389
 Description: Lemma for lcfr 37394. Combine lcfrlem27 37378 and lcfrlem37 37388. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem38.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem38.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem38.p + = (+g𝑈)
lcfrlem38.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem38.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem38.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem38.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem38.c 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfrlem38.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem38.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem38.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem38.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem38.xe (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem38.ye (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem38.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem38.x (𝜑𝑋0 )
lcfrlem38.y (𝜑𝑌0 )
lcfrlem38.sp 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem38.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem38.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem38.i (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem38.n (𝜑𝐼0 )
lcfrlem38.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem38.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem38.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem38.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem38.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem38 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐷   𝑔,𝐺,𝑘   𝑔,𝐼,𝑘   𝑓,𝑔,𝑘,𝐽   𝑓,𝐿,𝑔,𝑘   𝑣,𝑓,𝑤,𝑥, ,𝑔,𝑘   + ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑔,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑈,𝑓,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑣,𝑥   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑓,𝑌,𝑔,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   0 ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   · (𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣)

Proof of Theorem lcfrlem38
StepHypRef Expression
1 lcfrlem38.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem38.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem38.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem38.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem38.p . . 3 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem38.z . . 3 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem38.sp . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2760 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem38.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
109adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
11 lcfrlem38.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 lcfrlem38.d . . . . . 6 𝐷 = (LDual‘𝑈)
13 lcfrlem38.q . . . . . 6 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
14 lcfrlem38.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
15 lcfrlem38.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑄)
16 lcfrlem38.xe . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
171, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 16lcfrlem4 37354 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
18 lcfrlem38.x . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
19 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2017, 18, 19sylanbrc 701 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 lcfrlem38.ye . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐸)
231, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 9, 15, 22lcfrlem4 37354 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
24 lcfrlem38.y . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
25 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑌𝑉𝑌0 ))
2623, 24, 25sylanbrc 701 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28 lcfrlem38.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2928adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 lcfrlem38.b . . 3 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
31 lcfrlem38.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
32 lcfrlem38.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
33 eqid 2760 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
34 lcfrlem38.r . . 3 𝑅 = (Base‘𝑆)
35 lcfrlem38.j . . 3 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
36 lcfrlem38.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐵)
3736adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝐼𝐵)
38 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆))
39 lcfrlem38.n . . . 4 (𝜑𝐼0 )
4039adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝐼0 )
4115, 13syl6eleq 2849 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
4241adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
43 lcfrlem38.gs . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
44 lcfrlem38.c . . . . 5 𝐶 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
4543, 44syl6sseq 3792 . . . 4 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
4645adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
4716adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝑋𝐸)
4822adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → 𝑌𝐸)
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 11, 12, 38, 40, 42, 46, 14, 47, 48lcfrlem27 37378 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = (0g𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
509adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5120adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5226adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5328adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5436adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝐼𝐵)
55 simpr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆))
56 eqid 2760 . . 3 (invr𝑆) = (invr𝑆)
57 eqid 2760 . . 3 (-g𝐷) = (-g𝐷)
58 eqid 2760 . . 3 ((𝐽𝑋)(-g𝐷)((((invr𝑆)‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌))) = ((𝐽𝑋)(-g𝐷)((((invr𝑆)‘((𝐽𝑌)‘𝐼))(.r𝑆)((𝐽𝑋)‘𝐼))( ·𝑠𝐷)(𝐽𝑌)))
5941adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝐷))
6045adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝐺 ⊆ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)})
6116adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝑋𝐸)
6222adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → 𝑌𝐸)
631, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 50, 51, 52, 53, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 54, 11, 12, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 14, 61, 62lcfrlem37 37388 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐽𝑌)‘𝐼) ≠ (0g𝑆)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
6449, 63pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  ∪ ciun 4672   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  ℩crio 6774  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  -gcsg 17645  invrcinvr 18891  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LSAtomsclsa 34782  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893  LDualcld 34931  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  ocHcoch 37156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204 This theorem is referenced by:  lcfrlem39  37390
 Copyright terms: Public domain W3C validator