Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem6 38563
Description: Lemma for lcfr 38601. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p + = (+g𝑈)
lcfrlem6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem6.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem6.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem6.x (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem6.y (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem6.en (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
2 lcfrlem6.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
31, 2eleqtrdi 2920 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
4 eliun 4914 . . . . 5 (𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
53, 4sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlmod 38126 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
1110adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
128adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑄)
17 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
1917, 18lssel 19638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑄𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2016, 19sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (LDual‘𝑈)
2214, 21, 17, 9ldualvbase 36142 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2420, 23eleqtrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 36112 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
286, 7, 13, 26, 27dochlss 38370 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2912, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3634, 35eqsstrrd 4003 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3736ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 38561 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 19696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝐸)
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 38561 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 19696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
4637, 41, 453imtr4d 295 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
4746imp 407 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
4948, 26lssvacl 19655 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 834 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5150ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
5251reximdva 3271 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
535, 52mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
54 eliun 4914 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5553, 54sylibr 235 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5655, 2eleqtrrdi 2921 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  wss 3933  {csn 4557   ciun 4910  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101  LDualcld 36139  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  ocHcoch 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  38599
  Copyright terms: Public domain W3C validator