Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem6 35650
Description: Lemma for lcfr 35688. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p + = (+g𝑈)
lcfrlem6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem6.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem6.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem6.x (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem6.y (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem6.en (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
2 lcfrlem6.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
31, 2syl6eleq 2697 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
4 eliun 4454 . . . . 5 (𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
53, 4sylib 206 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlmod 35213 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
1110adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
128adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑄)
17 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
1917, 18lssel 18705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑄𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2016, 19sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (LDual‘𝑈)
2214, 21, 17, 9ldualvbase 33227 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2420, 23eleqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 33197 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
286, 7, 13, 26, 27dochlss 35457 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2912, 25, 28syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3029adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3634, 35eqsstr3d 3602 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3736ex 448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 35648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4039adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 18762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝐸)
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 35648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4443adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 18762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
4637, 41, 453imtr4d 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
4746imp 443 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
4948, 26lssvacl 18721 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5150ex 448 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
5251reximdva 2999 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
535, 52mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
54 eliun 4454 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5553, 54sylibr 222 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5655, 2syl6eleqr 2698 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539  {csn 4124   ciun 4449  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  LSpanclspn 18738  LFnlclfn 33158  LKerclk 33186  LDualcld 33224  HLchlt 33451  LHypclh 34084  DVecHcdvh 35181  ocHcoch 35450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lfl 33159  df-lkr 33187  df-ldual 33225  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205  df-trl 34260  df-tendo 34857  df-edring 34859  df-disoa 35132  df-dvech 35182  df-dib 35242  df-dic 35276  df-dih 35332  df-doch 35451
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  35686
  Copyright terms: Public domain W3C validator