Theorem lcfrlem7 38676

Description: Lemma for lcfr 38713. Closure of vector sum when one vector is zero. TODO: share hypotheses with others. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem7.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem7.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem7.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem7.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem7.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem7.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem7.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem7.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑈,𝑔   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   + (𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑌(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem7.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 0 )
2	1	oveq2d 7164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0 ))
3		lcfrlem7.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		lcfrlem7.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcfrlem7.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 38238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		lcfrlem7.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
9		lcfrlem7.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrlem7.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		lcfrlem7.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
12		lcfrlem7.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
13		lcfrlem7.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
14		lcfrlem7.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
15	3, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	lcfrlem4 38673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
16		lcfrlem7.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17		lcfrlem7.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18	8, 16, 17	lmod0vrid 19657	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
19	6, 15, 18	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
20	2, 19	eqtrd 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
21	20, 14	eqeltrd 2911	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∪ ciun 4910  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LKerclk 36213  LDualcld 36251  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  ocHcoch 38475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476

This theorem is referenced by:  lcfrlem42  38712