Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2n 35621
Description: Lemma for lclkr 35634. (Contributed by NM, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2n.w (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lclkrlem2n.j (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
lclkrlem2n.k (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2n (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2n
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2 lclkrlem2n.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 lclkrlem2n.w . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4 lveclmod 18876 . . 3 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
6 lclkrlem2m.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lclkrlem2m.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lclkrlem2m.p . . . 4 + = (+g𝐷)
9 lclkrlem2m.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
10 lclkrlem2m.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
116, 7, 8, 5, 9, 10ldualvaddcl 33229 . . 3 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
12 lclkrlem2n.l . . . 4 𝐿 = (LKer‘𝑈)
136, 12, 1lkrlss 33194 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
145, 11, 13syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15 lclkrlem2n.j . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 )
16 lclkrlem2m.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
17 lclkrlem2m.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 lclkrlem2m.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
19 lclkrlem2m.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2016, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 19ellkr2 33190 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = 0 ))
2115, 20mpbird 246 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
22 lclkrlem2n.k . . 3 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 )
23 lclkrlem2m.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2416, 17, 18, 6, 12, 3, 11, 23ellkr2 33190 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) = 0 ))
2522, 24mpbird 246 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
261, 2, 5, 14, 21, 25lspprss 18762 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  {cpr 4127  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  .rcmulr 15718  Scalarcsca 15720   ·𝑠 cvsca 15721  0gc0g 15872  -gcsg 17196  invrcinvr 18443  LModclmod 18635  LSubSpclss 18702  LSpanclspn 18741  LVecclvec 18872  LFnlclfn 33156  LKerclk 33184  LDualcld 33222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-lvec 18873  df-lfl 33157  df-lkr 33185  df-ldual 33223
This theorem is referenced by:  lclkrlem2v  35629
  Copyright terms: Public domain W3C validator