Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2p 35629
Description: Lemma for lclkr 35640. When 𝐵 is zero, 𝑋 and 𝑌 must colinear, so their orthocomplements must be comparable. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2o.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2o.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2p.bn (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2p (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋}))

Proof of Theorem lclkrlem2p
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2o.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lclkrlem2o.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lclkrlem2o.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
42, 3, 1dvhlmod 35217 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 lclkrlem2m.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
6 lclkrlem2m.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2606 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8 lclkrlem2n.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
96, 7, 8lspsncl 18741 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
104, 5, 9syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116, 7lssss 18701 . . . 4 ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉)
13 lclkrlem2o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
14 lclkrlem2p.bn . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
1513, 14syl5eqr 2654 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈))
16 lclkrlem2m.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
17 lclkrlem2m.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
1817lmodring 18637 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
194, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
20 lclkrlem2m.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
21 lclkrlem2m.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (LDual‘𝑈)
22 lclkrlem2m.p . . . . . . . . . . . 12 + = (+g𝐷)
23 lclkrlem2m.e . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸𝐹)
24 lclkrlem2m.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝐹)
2520, 21, 22, 4, 23, 24ldualvaddcl 33235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
26 eqid 2606 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2717, 26, 6, 20lflcl 33169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑋𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
284, 25, 16, 27syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
292, 3, 1dvhlvec 35216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3017lvecdrng 18869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
3217, 26, 6, 20lflcl 33169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹𝑌𝑉) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
334, 25, 5, 32syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆))
34 lclkrlem2o.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
35 lclkrlem2m.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑆)
36 lclkrlem2m.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = (invr𝑆)
3726, 35, 36drnginvrcl 18530 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 ) → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
3831, 33, 34, 37syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆))
39 lclkrlem2m.q . . . . . . . . . . 11 × = (.r𝑆)
4026, 39ringcl 18327 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌)) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
4119, 28, 38, 40syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆))
42 lclkrlem2m.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑈)
436, 17, 42, 26lmodvscl 18646 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉) → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
444, 41, 5, 43syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉)
45 eqid 2606 . . . . . . . . 9 (0g𝑈) = (0g𝑈)
46 lclkrlem2m.m . . . . . . . . 9 = (-g𝑈)
476, 45, 46lmodsubeq0 18688 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
484, 16, 44, 47syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)))
4915, 48mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
5049sneqd 4133 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} = {((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)})
5150fveq2d 6089 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)}))
5217, 26, 6, 42, 8lspsnvsi 18768 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
534, 41, 5, 52syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
5451, 53eqsstrd 3598 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
55 lclkrlem2o.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
562, 3, 6, 55dochss 35472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → ( ‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ( ‘(𝑁‘{𝑋})))
571, 12, 54, 56syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ( ‘(𝑁‘{𝑋})))
585snssd 4277 . . 3 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
592, 3, 55, 6, 8, 1, 58dochocsp 35486 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑌})) = ( ‘{𝑌}))
6016snssd 4277 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
612, 3, 55, 6, 8, 1, 60dochocsp 35486 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ‘{𝑋}))
6257, 59, 613sstr3d 3606 1 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wss 3536  {csn 4121  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  Scalarcsca 15714   ·𝑠 cvsca 15715  0gc0g 15866  -gcsg 17190  LSSumclsm 17815  Ringcrg 18313  invrcinvr 18437  DivRingcdr 18513  LModclmod 18629  LSubSpclss 18696  LSpanclspn 18735  LVecclvec 18866  LFnlclfn 33162  LKerclk 33190  LDualcld 33228  HLchlt 33455  LHypclh 34088  DVecHcdvh 35185  ocHcoch 35454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-riotaBAD 33057
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-tpos 7213  df-undef 7260  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-preset 16694  df-poset 16712  df-plt 16724  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-p0 16805  df-p1 16806  df-lat 16812  df-clat 16874  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-lsm 17817  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-oppr 18389  df-dvdsr 18407  df-unit 18408  df-invr 18438  df-dvr 18449  df-drng 18515  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-lsp 18736  df-lvec 18867  df-lsatoms 33081  df-lfl 33163  df-ldual 33229  df-oposet 33281  df-ol 33283  df-oml 33284  df-covers 33371  df-ats 33372  df-atl 33403  df-cvlat 33427  df-hlat 33456  df-llines 33602  df-lplanes 33603  df-lvols 33604  df-lines 33605  df-psubsp 33607  df-pmap 33608  df-padd 33900  df-lhyp 34092  df-laut 34093  df-ldil 34208  df-ltrn 34209  df-trl 34264  df-tendo 34861  df-edring 34863  df-disoa 35136  df-dvech 35186  df-dib 35246  df-dic 35280  df-dih 35336  df-doch 35455
This theorem is referenced by:  lclkrlem2r  35631
  Copyright terms: Public domain W3C validator