Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2r 35627
Description: Lemma for lclkr 35636. When 𝐵 is zero, i.e. when 𝑋 and 𝑌 are colinear, the intersection of the kernels of 𝐸 and 𝐺 equal the kernel of 𝐺, so the kernels of 𝐺 and the sum are comparable. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2m.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t · = ( ·𝑠𝑈)
lclkrlem2m.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q × = (.r𝑆)
lclkrlem2m.z 0 = (0g𝑆)
lclkrlem2m.i 𝐼 = (invr𝑆)
lclkrlem2m.m = (-g𝑈)
lclkrlem2m.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2m.x (𝜑𝑋𝑉)
lclkrlem2m.y (𝜑𝑌𝑉)
lclkrlem2m.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2m.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2n.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2q.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2q.b 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
lclkrlem2q.n (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
lclkrlem2r.bn (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2r (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2r
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2m.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lclkrlem2m.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
3 lclkrlem2m.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4 lclkrlem2m.q . . . . 5 × = (.r𝑆)
5 lclkrlem2m.z . . . . 5 0 = (0g𝑆)
6 lclkrlem2m.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑆)
7 lclkrlem2m.m . . . . 5 = (-g𝑈)
8 lclkrlem2m.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lclkrlem2m.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10 lclkrlem2m.p . . . . 5 + = (+g𝐷)
11 lclkrlem2m.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
12 lclkrlem2m.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
13 lclkrlem2m.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐹)
14 lclkrlem2m.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
15 lclkrlem2n.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16 lclkrlem2n.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17 lclkrlem2o.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18 lclkrlem2o.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19 lclkrlem2o.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20 lclkrlem2o.a . . . . 5 = (LSSum‘𝑈)
21 lclkrlem2o.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 lclkrlem2q.b . . . . 5 𝐵 = (𝑋 ((((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) × (𝐼‘((𝐸 + 𝐺)‘𝑌))) · 𝑌))
23 lclkrlem2q.n . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑌) ≠ 0 )
24 lclkrlem2r.bn . . . . 5 (𝜑𝐵 = (0g𝑈))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24lclkrlem2p 35625 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋}))
26 lclkrlem2q.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
27 lclkrlem2q.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2825, 26, 273sstr4d 3610 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝐸))
29 sseqin2 3778 . . 3 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝐸) ↔ ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (𝐿𝐺))
3028, 29sylib 206 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) = (𝐿𝐺))
3117, 19, 21dvhlmod 35213 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
328, 16, 9, 10, 31, 13, 14lkrin 33265 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐸) ∩ (𝐿𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
3330, 32eqsstr3d 3602 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cin 3538  wss 3539  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  .rcmulr 15715  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  -gcsg 17193  LSSumclsm 17818  invrcinvr 18440  LSpanclspn 18738  LFnlclfn 33158  LKerclk 33186  LDualcld 33224  HLchlt 33451  LHypclh 34084  DVecHcdvh 35181  ocHcoch 35450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-undef 7263  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-0g 15871  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lvec 18870  df-lsatoms 33077  df-lfl 33159  df-lkr 33187  df-ldual 33225  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205  df-trl 34260  df-tendo 34857  df-edring 34859  df-disoa 35132  df-dvech 35182  df-dib 35242  df-dic 35276  df-dih 35332  df-doch 35451
This theorem is referenced by:  lclkrlem2s  35628
  Copyright terms: Public domain W3C validator