MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcm0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcm0val 15231
Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 15230 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcm0val (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)

Proof of Theorem lcm0val
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11332 . 2 0 ∈ ℤ
2 lcmval 15229 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )))
3 eqid 2621 . . . . 5 0 = 0
43olci 406 . . . 4 (𝑀 = 0 ∨ 0 = 0)
54iftruei 4065 . . 3 if((𝑀 = 0 ∨ 0 = 0), 0, inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛 ∧ 0 ∥ 𝑛)}, ℝ, < )) = 0
62, 5syl6eq 2671 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 0) = 0)
71, 6mpan2 706 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  ifcif 4058   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018  cn 10964  cz 11321  cdvds 14907   lcm clcm 15225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-neg 10213  df-z 11322  df-lcm 15227
This theorem is referenced by:  dvdslcm  15235  lcmeq0  15237  lcmcl  15238  lcmneg  15240  lcmgcd  15244  lcmdvds  15245  lcmid  15246  lcmftp  15273  lcmfunsnlem2  15277
  Copyright terms: Public domain W3C validator