MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcm1 15370
Description: The lcm of an integer and 1 is the absolute value of the integer. (Contributed by AV, 23-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcm1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcm1
StepHypRef Expression
1 gcd1 15296 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)
21oveq2d 6706 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = ((𝑀 lcm 1) · 1))
3 1z 11445 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 lcmcl 15361 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 1) ∈ ℕ0)
53, 4mpan2 707 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 11391 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) ∈ ℂ)
76mulid1d 10095 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · 1) = (𝑀 lcm 1))
82, 7eqtr2d 2686 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)))
9 lcmgcd 15367 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = (abs‘(𝑀 · 1)))
103, 9mpan2 707 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 1) · (𝑀 gcd 1)) = (abs‘(𝑀 · 1)))
11 zcn 11420 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1211mulid1d 10095 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
1312fveq2d 6233 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 1)) = (abs‘𝑀))
148, 10, 133eqtrd 2689 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 1) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   · cmul 9979  0cn0 11330  cz 11415  abscabs 14018   gcd cgcd 15263   lcm clcm 15348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-lcm 15350
This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  15401  lcmfun  15405
  Copyright terms: Public domain W3C validator