MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmcllem 15233
Description: Lemma for lcmn0cl 15234 and dvdslcm 15235. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmcllem (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Proof of Theorem lcmcllem
StepHypRef Expression
1 lcmn0val 15232 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 3666 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ ℕ
3 nnuz 11667 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3616 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1)
5 zmulcl 11370 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
65adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
7 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8 zcn 11326 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
97, 8anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
10 ioran 511 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
11 df-ne 2791 . . . . . . . . 9 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
12 df-ne 2791 . . . . . . . . 9 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
1311, 12anbi12i 732 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1410, 13sylbb2 228 . . . . . . 7 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
15 mulne0 10613 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
1615an4s 868 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
179, 14, 16syl2an 494 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
18 nnabscl 13999 . . . . . 6 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196, 17, 18syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
20 dvdsmul1 14927 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁))
21 dvdsabsb 14925 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
225, 21syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2320, 22mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
24 dvdsmul2 14928 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
25 dvdsabsb 14925 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
265, 25sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2726anabss7 861 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
2824, 27mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
2923, 28jca 554 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
3029adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
31 breq2 4617 . . . . . . 7 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑀𝑛𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
32 breq2 4617 . . . . . . 7 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → (𝑁𝑛𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
3331, 32anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑛 = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
3433rspcev 3295 . . . . 5 (((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
3519, 30, 34syl2anc 692 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
36 rabn0 3932 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑀𝑛𝑁𝑛))
3735, 36sylibr 224 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅)
38 infssuzcl 11716 . . 3 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
394, 37, 38sylancr 694 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
401, 39eqeltrd 2698 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  abscabs 13908  cdvds 14907   lcm clcm 15225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-lcm 15227
This theorem is referenced by:  lcmn0cl  15234  dvdslcm  15235
  Copyright terms: Public domain W3C validator