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Theorem lcmdvds 15256
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5 0z 11340 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
6 lcmcom 15241 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
75, 6mpan 705 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8 lcm0val 15242 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
104, 9sylan9eqr 2677 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1110breq1d 4628 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
123, 11imbi12d 334 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
131, 12mpbiri 248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14133ad2antl3 1223 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1514adantrd 484 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1615ex 450 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19 oveq2 6618 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20 lcm0val 15242 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2677 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
2221breq1d 4628 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
2318, 22imbi12d 334 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
241, 23mpbiri 248 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25243ad2antl2 1222 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2625adantld 483 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2726ex 450 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
28 neanior 2882 . . . . . 6 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29 lcmcl 15249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31 dvds0 14932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
35 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑀𝐾𝑀 ∥ 0))
36 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑁𝐾𝑁 ∥ 0))
3735, 36anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
38 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3937, 38imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = 0 → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4134, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4241adantrl 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4342adantllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4443adantlrr 756 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4544anassrs 679 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
46 nnabscl 14007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
47 nnabscl 14007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
48 nnabscl 14007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
49 lcmgcdlem 15254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
5049simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5148, 50sylani 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5246, 47, 51syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5352expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
54 dvdsabsb 14936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
55 zabscl 13995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
56 absdvdsb 14935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5755, 56sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5854, 57bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5958adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
60 dvdsabsb 14936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
61 absdvdsb 14935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6255, 61sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6360, 62bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6463adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6559, 64anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
6665bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
67 lcmabs 15253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
6867breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
70 dvdsabsb 14936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7130, 70sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7269, 71bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7366, 72imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7473adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7574adantllr 754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7675adantlrr 756 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7753, 76mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7877anassrs 679 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7945, 78pm2.61dane 2877 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
8079ex 450 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8180an4s 868 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8228, 81sylan2br 493 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8382impancom 456 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
84833impa 1256 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
85843comr 1270 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8616, 27, 85ecase3d 983 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888   · cmul 9893  cn 10972  cz 11329  abscabs 13916  cdvds 14918   gcd cgcd 15151   lcm clcm 15236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-lcm 15238
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  15261  lcmftp  15284  lcmfunsnlem1  15285  lcmfunsnlem2lem1  15286  nzin  38034
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