Theorem lcmdvds 15955

Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2		breq1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
3	2	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4		oveq1 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5		0z 11995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		lcmcom 15940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
7	5, 6	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8		lcm0val 15941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
9	7, 8	eqtrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
10	4, 9	sylan9eqr 2881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11	10	breq1d 5079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
12	3, 11	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
13	1, 12	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14	13	3ad2antl3 1183	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
15	14	adantrd 494	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
16	15	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17		breq1 5072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
18	17	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19		oveq2 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20		lcm0val 15941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21	19, 20	sylan9eqr 2881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
22	21	breq1d 5079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
23	18, 22	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
24	1, 23	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25	24	3ad2antl2 1182	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
26	25	adantld 493	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
27	26	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
28		neanior 3112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29		lcmcl 15948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31		dvds0 15628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
33	32	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
34	33	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
35		breq2 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ 0))
36		breq2 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ 0))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
38		breq2 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
39	37, 38	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = 0 → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
40	39	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
41	34, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
42	41	adantrl 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
43	42	adantllr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
44	43	adantlrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
45	44	anassrs 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
46		nnabscl 14688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
47		nnabscl 14688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nnabscl 14688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
49		lcmgcdlem 15953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
50	49	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
51	48, 50	sylani 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
52	46, 47, 51	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
53	52	expdimp 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
54		dvdsabsb 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
55		zabscl 14676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
56		absdvdsb 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
57	55, 56	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
58	54, 57	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
59	58	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
60		dvdsabsb 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
61		absdvdsb 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
62	55, 61	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
63	60, 62	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
64	63	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
65	59, 64	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
66	65	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
67		lcmabs 15952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
68	67	breq1d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
69	68	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
70		dvdsabsb 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
71	30, 70	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
72	69, 71	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
73	66, 72	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
74	73	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
75	74	adantllr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
76	75	adantlrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
77	53, 76	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
78	77	anassrs 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
79	45, 78	pm2.61dane 3107	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
80	79	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
81	80	an4s 658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
82	28, 81	sylan2br 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
83	82	impancom 454	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
84	83	3impa 1106	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
85	84	3comr 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
86	16, 27, 85	ecase3d 1029	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540   · cmul 10545  ℕcn 11641  ℤcz 11984  abscabs 14596   ∥ cdvds 15610   gcd cgcd 15846   lcm clcm 15935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15847  df-lcm 15937

This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  15960  lcmftp  15983  lcmfunsnlem1  15984  lcmfunsnlem2lem1  15985  nzin  40656