MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmf 15130
Description: Characterization of the least common multiple of a set of integers (without 0): A positiven integer is the least common multiple of a set of integers iff it divides each of the elements of the set and every integer which divides each of the elements of the set is greater than or equal to this integer. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmf ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚

Proof of Theorem lcmf
StepHypRef Expression
1 dvdslcmf 15128 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
213adant3 1073 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
3 lcmfledvds 15129 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘) → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
43expdimp 451 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
54ralrimiva 2948 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
62, 5jca 552 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
76adantl 480 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
8 breq2 4581 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝑚𝐾𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
98ralbidv 2968 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
10 breq1 4580 . . . . . 6 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘 ↔ (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
1110imbi2d 328 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
1211ralbidv 2968 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
139, 12anbi12d 742 . . 3 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))))
147, 13syl5ibrcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
15 lcmfn0cl 15123 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
1615adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
17 breq2 4581 . . . . . . . 8 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝑚𝑘𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
1817ralbidv 2968 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
19 breq2 4581 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘𝐾 ≤ (lcm𝑍)))
2018, 19imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑘 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2120rspcv 3277 . . . . 5 ((lcm𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2216, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2322adantld 481 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
242adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
25 nnre 10874 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2615nnred 10882 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℝ)
2725, 26anim12i 587 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℝ))
28 leloe 9975 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
30 lcmfledvds 15129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
3130expd 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)))
3231impcom 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
33 lenlt 9967 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lcm𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
3426, 25, 33syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
35 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 < (lcm𝑍) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
3634, 35syl6bi 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3732, 36syld 45 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3837com12 32 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3938adantr 479 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4039com13 85 . . . . . . . 8 (𝐾 < (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
41 2a1 28 . . . . . . . 8 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4240, 41jaoi 392 . . . . . . 7 ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4342com12 32 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4429, 43sylbid 228 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4524, 44embantd 56 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4645com23 83 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4723, 46mpdd 41 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
4814, 47impbid 200 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2780  wral 2895  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  cz 11210  cdvds 14767  lcmclcmf 15086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-prod 14421  df-dvds 14768  df-lcmf 15088
This theorem is referenced by:  lcmftp  15133  lcmfunsnlem2lem2  15136
  Copyright terms: Public domain W3C validator