Theorem lcmfdvds 15988

Description: The least common multiple of a set of integers divides any integer which is divisible by all elements of the set. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑚,𝑍

Proof of Theorem lcmfdvds

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑚 ∥ 𝑘 ↔ 𝑚 ∥ 𝐾))
2	1	ralbidv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾))
3		breq2 5072	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((lcm‘𝑍) ∥ 𝑘 ↔ (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))
4	2, 3	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ↔ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
5	4	rspccv 3622	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑍) lcm 𝑛)) → (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
7		lcmfunsnlem 15987	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑘 ∈ ℤ (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝑘 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝑘) ∧ ∀𝑛 ∈ ℤ (lcm‘(𝑍 ∪ {𝑛})) = ((lcm‘𝑍) lcm 𝑛)))
8	6, 7	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾)))
9	8	3impib 1112	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (∀𝑚 ∈ 𝑍 𝑚 ∥ 𝐾 → (lcm‘𝑍) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  ℤcz 11984   ∥ cdvds 15609   lcm clcm 15934  lcmclcmf 15935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262  df-dvds 15610  df-gcd 15846  df-lcm 15936  df-lcmf 15937

This theorem is referenced by:  lcmfdvdsb  15989