MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmflefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmflefac 15148
Description: The least common multiple of all positive integers less than or equal to an integer is less than or equal to the factorial of the integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmflefac (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem lcmflefac
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssz 12172 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℤ
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ⊆ ℤ)
3 fzfid 12592 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
4 0nelfz1 12189 . . . 4 0 ∉ (1...𝑁)
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∉ (1...𝑁))
62, 3, 53jca 1235 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)))
7 nnnn0 11149 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
8 faccl 12890 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
10 elfznn 12199 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
11 elfzuz3 12168 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑚))
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑚))
13 dvdsfac 14835 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
1410, 12, 13syl2an2 871 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∥ (!‘𝑁))
1514ralrimiva 2949 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁))
169, 15jca 553 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)))
17 lcmfledvds 15132 . 2 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin ∧ 0 ∉ (1...𝑁)) → (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...𝑁)𝑚 ∥ (!‘𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁)))
186, 16, 17sylc 63 1 (𝑁 ∈ ℕ → (lcm‘(1...𝑁)) ≤ (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wnel 2781  wral 2896  wss 3540   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  0cc0 9793  1c1 9794  cle 9932  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  !cfa 12880  cdvds 14770  lcmclcmf 15089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-prod 14424  df-dvds 14771  df-lcmf 15091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator