Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmledvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmledvds 15247
 Description: A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmledvds (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))

Proof of Theorem lcmledvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcmn0val 15243 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
213adantl1 1215 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
32adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ))
4 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑀𝑛𝑀𝐾))
5 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁𝑛𝑁𝐾))
64, 5anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
76elrab 3350 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
8 ssrab2 3671 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ ℕ
9 nnuz 11675 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9sseqtri 3621 . . . . . . . . 9 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1)
11 infssuzle 11723 . . . . . . . . 9 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1210, 11mpan 705 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
137, 12sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
1413ex 450 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
15143ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1615adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾))
1716imp 445 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑛𝑁𝑛)}, ℝ, < ) ≤ 𝐾)
183, 17eqbrtrd 4640 . 2 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾)
1918ex 450 1 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ≤ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  infcinf 8299  ℝcr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   < clt 10026   ≤ cle 10027  ℕcn 10972  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639   ∥ cdvds 14918   lcm clcm 15236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-lcm 15238 This theorem is referenced by:  lcmneg  15251  lcmftp  15284  lcmfunsnlem2lem1  15286
 Copyright terms: Public domain W3C validator