Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcoc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcoc0 41520
 Description: Properties of a linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincvalsc0.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lincvalsc0.0 0 = (0g𝑆)
lincvalsc0.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincvalsc0.f 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
lcoc0.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
lcoc0 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥, 0   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lcoc0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lincvalsc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2 lcoc0.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
3 lincvalsc0.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑆)
41, 2, 3lmod0cl 18817 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 0𝑅)
54ad2antrr 761 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝑉) → 0𝑅)
6 lincvalsc0.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉0 )
75, 6fmptd 6346 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹:𝑉𝑅)
8 fvex 6163 . . . . . 6 (Base‘𝑆) ∈ V
92, 8eqeltri 2694 . . . . 5 𝑅 ∈ V
109a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ V)
11 elmapg 7822 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
1210, 11sylan 488 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ↔ 𝐹:𝑉𝑅))
137, 12mpbird 247 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
14 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑣0 = 0 )
1514cbvmptv 4715 . . . . . 6 (𝑥𝑉0 ) = (𝑣𝑉0 )
166, 15eqtri 2643 . . . . 5 𝐹 = (𝑣𝑉0 )
17 simpr 477 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
18 fvex 6163 . . . . . . 7 (0g𝑆) ∈ V
193, 18eqeltri 2694 . . . . . 6 0 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 0 ∈ V)
2119a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑣𝑉) → 0 ∈ V)
2216, 17, 20, 21mptsuppd 7270 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) = {𝑣𝑉00 })
23 neirr 2799 . . . . . . . 8 ¬ 00
2423a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ¬ 00 )
2524ralrimivw 2962 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
26 rabeq0 3936 . . . . . 6 ({𝑣𝑉00 } = ∅ ↔ ∀𝑣𝑉 ¬ 00 )
2725, 26sylibr 224 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } = ∅)
28 0fin 8139 . . . . . 6 ∅ ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ∅ ∈ Fin)
3027, 29eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → {𝑣𝑉00 } ∈ Fin)
3122, 30eqeltrd 2698 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
326funmpt2 5890 . . . . 5 Fun 𝐹
3332a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → Fun 𝐹)
34 funisfsupp 8231 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3533, 13, 20, 34syl3anc 1323 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin))
3631, 35mpbird 247 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐹 finSupp 0 )
37 lincvalsc0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
38 lincvalsc0.z . . 3 𝑍 = (0g𝑀)
3937, 1, 3, 38, 6lincvalsc0 41519 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍)
4013, 36, 393jca 1240 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3189  ∅c0 3896  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  Fun wfun 5846  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   supp csupp 7247   ↑𝑚 cmap 7809  Fincfn 7906   finSupp cfsupp 8226  Basecbs 15788  Scalarcsca 15872  0gc0g 16028  LModclmod 18791   linC clinc 41502 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-map 7811  df-en 7907  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-seq 12749  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-ring 18477  df-lmod 18793  df-linc 41504 This theorem is referenced by:  lcoel0  41526
 Copyright terms: Public domain W3C validator