Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem4 34819
Description: Lemma for lcvexch 34821. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.f (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem4 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)

Proof of Theorem lcvexchlem4
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lcvexch.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
3 lcvexch.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
5 lcvexch.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑆)
6 lcvexch.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
71, 6lsmcl 19277 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
83, 4, 5, 7syl3anc 1473 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
9 lcvexch.f . . . 4 (𝜑𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
101, 2, 3, 4, 8, 9lcvpss 34806 . . 3 (𝜑𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈))
111, 6, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 34816 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈))
1210, 11mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊊ 𝑈)
1333ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
141lsssssubg 19152 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑆)
1715, 16sseldd 3737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1843ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝑆)
1915, 18sseldd 3737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
206lsmub2 18264 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2117, 19, 20syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇))
2253ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈𝑆)
2315, 22sseldd 3737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 simp3r 1242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑠𝑈)
256lsmless1 18266 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑈) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
2623, 19, 24, 25syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑈 𝑇))
27 lmodabl 19104 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
283, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
293, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3029, 4sseldd 3737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3129, 5sseldd 3737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326lsmcom 18453 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
34333ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
3526, 34sseqtr4d 3775 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))
3693ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑇𝐶(𝑇 𝑈))
371, 2, 3, 4, 8lcvbr3 34805 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) ↔ (𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))))))
393adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
414adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝑆) → 𝑇𝑆)
421, 6lsmcl 19277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆𝑇𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
4339, 40, 41, 42syl3anc 1473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑠 𝑇) ∈ 𝑆)
44 sseq2 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑇𝑟𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇)))
45 sseq1 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)))
4644, 45anbi12d 749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈))))
47 eqeq1 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = 𝑇 ↔ (𝑠 𝑇) = 𝑇))
48 eqeq1 2756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (𝑟 = (𝑇 𝑈) ↔ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
4947, 48orbi12d 748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → ((𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)) ↔ ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5046, 49imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑠 𝑇) → (((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) ↔ ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5150rspcv 3437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 𝑇) ∈ 𝑆 → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5243, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝑆) → (∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5352adantld 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆) → ((𝑇 ⊊ (𝑇 𝑈) ∧ ∀𝑟𝑆 ((𝑇𝑟𝑟 ⊆ (𝑇 𝑈)) → (𝑟 = 𝑇𝑟 = (𝑇 𝑈)))) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5438, 53sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
55543adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝐶(𝑇 𝑈) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))))
5636, 55mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 ⊆ (𝑠 𝑇) ∧ (𝑠 𝑇) ⊆ (𝑇 𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈))))
5721, 35, 56mp2and 717 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)))
58 ineq1 3942 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = 𝑇 → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈))
59 simp3l 1241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑠)
601, 6, 2, 13, 18, 22, 16, 59, 24lcvexchlem2 34817 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = 𝑠)
6160eqeq1d 2754 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑇𝑈) ↔ 𝑠 = (𝑇𝑈)))
6258, 61syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = 𝑇𝑠 = (𝑇𝑈)))
63 ineq1 3942 . . . . . . 7 ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → ((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈))
646lsmub2 18264 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
6519, 23, 64syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
66 sseqin2 3952 . . . . . . . . 9 (𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈) ↔ ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6765, 66sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) = 𝑈)
6860, 67eqeq12d 2767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑈) ↔ 𝑠 = 𝑈))
6963, 68syl5ib 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → ((𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈) → 𝑠 = 𝑈))
7062, 69orim12d 919 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (((𝑠 𝑇) = 𝑇 ∨ (𝑠 𝑇) = (𝑇 𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
7157, 70mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑆 ∧ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈)) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))
72713exp 1112 . . 3 (𝜑 → (𝑠𝑆 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈))))
7372ralrimiv 3095 . 2 (𝜑 → ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))
741lssincl 19159 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
753, 4, 5, 74syl3anc 1473 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ 𝑆)
761, 2, 3, 75, 5lcvbr3 34805 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑈)𝐶𝑈 ↔ ((𝑇𝑈) ⊊ 𝑈 ∧ ∀𝑠𝑆 (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑠𝑠𝑈) → (𝑠 = (𝑇𝑈) ∨ 𝑠 = 𝑈)))))
7712, 73, 76mpbir2and 995 1 (𝜑 → (𝑇𝑈)𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cin 3706  wss 3707  wpss 3708   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  SubGrpcsubg 17781  LSSumclsm 18241  Abelcabl 18386  LModclmod 19057  LSubSpclss 19126  L clcv 34800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lcv 34801
This theorem is referenced by:  lcvexch  34821  lsatcvat3  34834
  Copyright terms: Public domain W3C validator