Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinc 42090
Description: The reverse implication of islindeps2 42065 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 42078 and zlmodzxznm 42079. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Distinct variable group:   𝑓,𝑚,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) = (ℤring freeLMod {0, 1})
21zlmodzxzlmod 41924 . . 3 ((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
32simpli 472 . 2 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod
4 3z 11240 . . . . 5 3 ∈ ℤ
5 6nn 11033 . . . . . 6 6 ∈ ℕ
65nnzi 11231 . . . . 5 6 ∈ ℤ
71zlmodzxzel 41925 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
84, 6, 7mp2an 703 . . . 4 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
9 2z 11239 . . . . 5 2 ∈ ℤ
10 4z 11241 . . . . 5 4 ∈ ℤ
111zlmodzxzel 41925 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
129, 10, 11mp2an 703 . . . 4 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
13 prelpwi 4833 . . . 4 (({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
148, 12, 13mp2an 703 . . 3 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
15 eqid 2606 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
16 eqid 2606 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
171, 15, 16zlmodzxzldep 42086 . . . 4 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})
181, 15, 16ldepsnlinclem1 42087 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
19 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
2019eqcomd 2612 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring
2221fveq2i 6088 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) = (Base‘ℤring)
2322oveq1i 6534 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
2418, 23eleq2s 2702 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
2524a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
2625rgen 2902 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
271, 15, 16ldepsnlinclem2 42088 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2822oveq1i 6534 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
2927, 28eleq2s 2702 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
3029a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
3130rgen 2902 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
32 prex 4828 . . . . . 6 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
33 prex 4828 . . . . . 6 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
34 sneq 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
3534difeq2d 3686 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 42080 . . . . . . . . . 10 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
37 difprsn1 4267 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}
3935, 38syl6eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4039oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
4139oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
42 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → 𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
4341, 42neeq12d 2839 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
4443imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
4540, 44raleqbidv 3125 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
46 sneq 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4746difeq2d 3686 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
48 difprsn2 4268 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}
5047, 49syl6eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
5150oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
5250oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
53 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → 𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5452, 53neeq12d 2839 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
5554imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5651, 55raleqbidv 3125 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5732, 33, 45, 56ralpr 4181 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5826, 31, 57mpbir2an 956 . . . 4 𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)
5917, 58pm3.2i 469 . . 3 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
60 breq1 4577 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ↔ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
61 id 22 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → 𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
62 difeq1 3679 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))
6362oveq2d 6540 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6462oveq2d 6540 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6564neeq1d 2837 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
6665imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6763, 66raleqbidv 3125 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6861, 67raleqbidv 3125 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6960, 68anbi12d 742 . . . 4 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
7069rspcev 3278 . . 3 (({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
7114, 59, 70mp2an 703 . 2 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
72 fveq2 6085 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘𝑚) = (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
7372pweqd 4109 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → 𝒫 (Base‘𝑚) = 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
74 breq2 4578 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑠 linDepS 𝑚𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
75 fveq2 6085 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Scalar‘𝑚) = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
7675fveq2d 6089 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘(Scalar‘𝑚)) = (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7776oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})))
7875fveq2d 6089 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (0g‘(Scalar‘𝑚)) = (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7978breq2d 4586 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))))
80 fveq2 6085 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ( linC ‘𝑚) = ( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
8180oveqd 6541 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})))
8281neeq1d 2837 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
8379, 82imbi12d 332 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8477, 83raleqbidv 3125 . . . . . 6 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8584ralbidv 2965 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8674, 85anbi12d 742 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8773, 86rexeqbidv 3126 . . 3 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8887rspcev 3278 . 2 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
893, 71, 88mp2an 703 1 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  cdif 3533  𝒫 cpw 4104  {csn 4121  {cpr 4123  cop 4127   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑚 cmap 7718   finSupp cfsupp 8132  0cc0 9789  1c1 9790  2c2 10914  3c3 10915  4c4 10916  6c6 10918  cz 11207  Basecbs 15638  Scalarcsca 15714  0gc0g 15866  LModclmod 18629  ringzring 19580   freeLMod cfrlm 19848   linC clinc 41986   linDepS clindeps 42023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-dvds 14765  df-prm 15167  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-prds 15874  df-pws 15876  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-mulg 17307  df-subg 17357  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-cring 18316  df-subrg 18544  df-lmod 18631  df-lss 18697  df-sra 18936  df-rgmod 18937  df-cnfld 19511  df-zring 19581  df-dsmm 19834  df-frlm 19849  df-linc 41988  df-lininds 42024  df-lindeps 42026
This theorem is referenced by:  ldepslinc  42091
  Copyright terms: Public domain W3C validator