Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinc 42062
Description: The reverse implication of islindeps2 42037 does not hold for arbitrary (left) modules, see note in [Roman] p. 112: "... if a nontrivial linear combination of the elements ... in an R-module M is 0, ... where not all of the coefficients are 0, then we cannot conclude ... that one of the elements ... is a linear combination of the others." This means that there is at least one left module having a linearly dependent subset in which there is at least one element which is not a linear combinantion of the other elements of this subset. Such a left module can be constructed by using zlmodzxzequa 42050 and zlmodzxznm 42051. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinc 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Distinct variable group:   𝑓,𝑚,𝑠,𝑣

Proof of Theorem ldepsnlinc
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) = (ℤring freeLMod {0, 1})
21zlmodzxzlmod 41897 . . 3 ((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
32simpli 474 . 2 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod
4 3z 11395 . . . . 5 3 ∈ ℤ
5 6nn 11174 . . . . . 6 6 ∈ ℕ
65nnzi 11386 . . . . 5 6 ∈ ℤ
71zlmodzxzel 41898 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
84, 6, 7mp2an 707 . . . 4 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
9 2z 11394 . . . . 5 2 ∈ ℤ
10 4z 11396 . . . . 5 4 ∈ ℤ
111zlmodzxzel 41898 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
129, 10, 11mp2an 707 . . . 4 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
13 prelpwi 4906 . . . 4 (({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
148, 12, 13mp2an 707 . . 3 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))
15 eqid 2620 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
16 eqid 2620 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
171, 15, 16zlmodzxzldep 42058 . . . 4 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})
181, 15, 16ldepsnlinclem1 42059 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
19 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
2019eqcomd 2626 . . . . . . . . . . 11 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})) = ℤring
2221fveq2i 6181 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) = (Base‘ℤring)
2322oveq1i 6645 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
2418, 23eleq2s 2717 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
2524a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
2625rgen 2919 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
271, 15, 16ldepsnlinclem2 42060 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
2822oveq1i 6645 . . . . . . . 8 ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
2927, 28eleq2s 2717 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
3029a1d 25 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
3130rgen 2919 . . . . 5 𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
32 prex 4900 . . . . . 6 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
33 prex 4900 . . . . . 6 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
34 sneq 4178 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
3534difeq2d 3720 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
361, 15, 16zlmodzxzldeplem 42052 . . . . . . . . . 10 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
37 difprsn1 4321 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}
3935, 38syl6eq 2670 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4039oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
4139oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
42 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → 𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
4341, 42neeq12d 2852 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
4443imbi2d 330 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
4540, 44raleqbidv 3147 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})))
46 sneq 4178 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → {𝑣} = {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
4746difeq2d 3720 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}))
48 difprsn2 4322 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
4936, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}
5047, 49syl6eq 2670 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}) = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})
5150oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
5250oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}))
53 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → 𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5452, 53neeq12d 2852 . . . . . . . 8 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
5554imbi2d 330 . . . . . . 7 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5651, 55raleqbidv 3147 . . . . . 6 (𝑣 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5732, 33, 45, 56ralpr 4229 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}) ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) ∧ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}})(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})){{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}}) ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})))
5826, 31, 57mpbir2an 954 . . . 4 𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)
5917, 58pm3.2i 471 . . 3 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
60 breq1 4647 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ↔ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
61 id 22 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → 𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}})
62 difeq1 3713 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑠 ∖ {𝑣}) = ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))
6362oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6462oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})))
6564neeq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
6665imbi2d 330 . . . . . . 7 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6763, 66raleqbidv 3147 . . . . . 6 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6861, 67raleqbidv 3147 . . . . 5 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
6960, 68anbi12d 746 . . . 4 (𝑠 = {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} → ((𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
7069rspcev 3304 . . 3 (({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})) ∧ ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣 ∈ {{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}}∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 ({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))({{⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}} ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
7114, 59, 70mp2an 707 . 2 𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
72 fveq2 6178 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘𝑚) = (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
7372pweqd 4154 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → 𝒫 (Base‘𝑚) = 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
74 breq2 4648 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑠 linDepS 𝑚𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1})))
75 fveq2 6178 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Scalar‘𝑚) = (Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
7675fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (Base‘(Scalar‘𝑚)) = (Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7776oveq1d 6650 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})) = ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣})))
7875fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (0g‘(Scalar‘𝑚)) = (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))))
7978breq2d 4656 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) ↔ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1})))))
80 fveq2 6178 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ( linC ‘𝑚) = ( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1})))
8180oveqd 6652 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) = (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})))
8281neeq1d 2850 . . . . . . . 8 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣 ↔ (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
8379, 82imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8477, 83raleqbidv 3147 . . . . . 6 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8584ralbidv 2983 . . . . 5 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣) ↔ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
8674, 85anbi12d 746 . . . 4 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → ((𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ (𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8773, 86rexeqbidv 3148 . . 3 (𝑚 = (ℤring freeLMod {0, 1}) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))))
8887rspcev 3304 . 2 (((ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ LMod ∧ ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 linDepS (ℤring freeLMod {0, 1}) ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘(ℤring freeLMod {0, 1}))) → (𝑓( linC ‘(ℤring freeLMod {0, 1}))(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))) → ∃𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣)))
893, 71, 88mp2an 707 1 𝑚 ∈ LMod ∃𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑚)(𝑠 linDepS 𝑚 ∧ ∀𝑣𝑠𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑚)) ↑𝑚 (𝑠 ∖ {𝑣}))(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑚)) → (𝑓( linC ‘𝑚)(𝑠 ∖ {𝑣})) ≠ 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  cdif 3564  𝒫 cpw 4149  {csn 4168  {cpr 4170  cop 4174   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842   finSupp cfsupp 8260  0cc0 9921  1c1 9922  2c2 11055  3c3 11056  4c4 11057  6c6 11059  cz 11362  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925  0gc0g 16081  LModclmod 18844  ringzring 19799   freeLMod cfrlm 20071   linC clinc 41958   linDepS clindeps 41995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-prm 15367  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-dsmm 20057  df-frlm 20072  df-linc 41960  df-lininds 41996  df-lindeps 41998
This theorem is referenced by:  ldepslinc  42063
  Copyright terms: Public domain W3C validator