Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 41579
Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 41582. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7823 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 4870 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2694 . . . 4 𝐵 ∈ V
54fsn2 6357 . . 3 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}))
6 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
76adantl 482 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 41417 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 474 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 11353 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
13 4z 11355 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
148zlmodzxzel 41418 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1512, 13, 14mp2an 707 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
162, 15eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18 simpl 473 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
209simpri 478 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
21 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 41490 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
257, 24eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
26 eqid 2621 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 41571 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30 r19.26 3057 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31 oveq1 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐵) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
3231neeq1d 2849 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐵) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3332rspcv 3291 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34 zringbas 19743 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3534eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3635eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3736biimpi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3933, 38syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4039adantl 482 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4130, 40sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4229, 41ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
4325, 42eqnetrd 2857 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
445, 43sylbi 207 . 2 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
451, 44syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  {csn 4148  {cpr 4150  cop 4154  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  0cc0 9880  1c1 9881  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  6c6 11018  cz 11321  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  -gcsg 17345  LModclmod 18784  ringzring 19737   freeLMod cfrlm 20009   linC clinc 41478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-linc 41480
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  41582
  Copyright terms: Public domain W3C validator