Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem1 42721
Description: Lemma 1 for ldepsnlinc 42724. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ldepsnlinclem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7996 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → 𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
3 prex 5014 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2799 . . . 4 𝐵 ∈ V
54fsn2 6518 . . 3 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}))
6 oveq1 6772 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
76adantl 473 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 42559 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 476 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 2z 11522 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
13 4z 11524 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
148zlmodzxzel 42560 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1512, 13, 14mp2an 710 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
162, 15eqeltri 2799 . . . . . . 7 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
1716a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑍))
18 simpl 474 . . . . . 6 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring))
19 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
209simpri 481 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
21 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
22 eqid 2724 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2319, 20, 21, 22lincvalsng 42632 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
2411, 17, 18, 23syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ({⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
257, 24eqtrd 2758 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
26 eqid 2724 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
27 eqid 2724 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
298, 26, 22, 27, 28, 2zlmodzxznm 42713 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
30 r19.26 3166 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
31 oveq1 6772 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐵) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) = ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵))
3231neeq1d 2955 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐵) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 ↔ ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
3332rspcv 3409 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
34 zringbas 19947 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3534eqcomi 2733 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3635eleq2i 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3736biimpi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹𝐵) ∈ ℤ)
3933, 38syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴 → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4039adantl 473 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4130, 40sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
4229, 41ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → ((𝐹𝐵)( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
4325, 42eqnetrd 2963 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐵, (𝐹𝐵)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
445, 43sylbi 207 . 2 (𝐹:{𝐵}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
451, 44syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐵}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐵}) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  Vcvv 3304  {csn 4285  {cpr 4287  cop 4291  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑚 cmap 7974  0cc0 10049  1c1 10050  2c2 11183  3c3 11184  4c4 11185  6c6 11187  cz 11490  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  -gcsg 17546  LModclmod 18986  ringzring 19941   freeLMod cfrlm 20213   linC clinc 42620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-prm 15509  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-prds 16231  df-pws 16233  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-cnfld 19870  df-zring 19942  df-dsmm 20199  df-frlm 20214  df-linc 42622
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42724
  Copyright terms: Public domain W3C validator