Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsnlinclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsnlinclem2 42060
Description: Lemma 2 for ldepsnlinc 42062. (Contributed by AV, 25-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
ldepsnlinclem2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)

Proof of Theorem ldepsnlinclem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 7864 . 2 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐴}) → 𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring))
2 zlmodzxzldep.a . . . . 5 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 prex 4900 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
42, 3eqeltri 2695 . . . 4 𝐴 ∈ V
54fsn2 6388 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
6 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
76adantl 482 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}))
8 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
98zlmodzxzlmod 41897 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
109simpli 474 . . . . . . 7 𝑍 ∈ LMod
1110a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝑍 ∈ LMod)
12 3z 11395 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
13 6nn 11174 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℕ
1413nnzi 11386 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℤ
158zlmodzxzel 41898 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
1612, 14, 15mp2an 707 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
172, 16eqeltri 2695 . . . . . . 7 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
1817a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
19 simpl 473 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring))
20 eqid 2620 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
219simpri 478 . . . . . . 7 ring = (Scalar‘𝑍)
22 eqid 2620 . . . . . . 7 (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring)
23 eqid 2620 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
2420, 21, 22, 23lincvalsng 41970 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring)) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
2511, 18, 19, 24syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ({⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
267, 25eqtrd 2654 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
27 eqid 2620 . . . . . 6 {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28 eqid 2620 . . . . . 6 (-g𝑍) = (-g𝑍)
29 zlmodzxzldep.b . . . . . 6 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
308, 27, 23, 28, 2, 29zlmodzxznm 42051 . . . . 5 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴)
31 r19.26 3060 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) ↔ (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴))
32 oveq1 6642 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐹𝐴) → (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) = ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴))
3332neeq1d 2850 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐹𝐴) → ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ↔ ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
3433rspcv 3300 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ ℤ → (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
35 zringbas 19805 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
3635eqcomi 2629 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ℤring) = ℤ
3736eleq2i 2691 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3837biimpi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ ℤ)
4034, 39syl11 33 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4140adantr 481 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4231, 41sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ℤ ((𝑖( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖( ·𝑠𝑍)𝐵) ≠ 𝐴) → (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵))
4330, 42ax-mp 5 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → ((𝐹𝐴)( ·𝑠𝑍)𝐴) ≠ 𝐵)
4426, 43eqnetrd 2858 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
455, 44sylbi 207 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶(Base‘ℤring) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
461, 45syl 17 1 (𝐹 ∈ ((Base‘ℤring) ↑𝑚 {𝐴}) → (𝐹( linC ‘𝑍){𝐴}) ≠ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  Vcvv 3195  {csn 4168  {cpr 4170  cop 4174  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  0cc0 9921  1c1 9922  2c2 11055  3c3 11056  4c4 11057  6c6 11059  cz 11362  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  -gcsg 17405  LModclmod 18844  ringzring 19799   freeLMod cfrlm 20071   linC clinc 41958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-prm 15367  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-dsmm 20057  df-frlm 20072  df-linc 41960
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42062
  Copyright terms: Public domain W3C validator