Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepspr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepspr 42764
Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
ldepspr ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))

Proof of Theorem ldepspr
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpa 1142 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
21ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
3 fvex 6354 . . . . . . . 8 (1r𝑅) ∈ V
4 fvex 6354 . . . . . . . 8 ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V))
7 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
87ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 fprg 6577 . . . . . 6 (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ ((1r𝑅) ∈ V ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V) ∧ 𝑋𝑌) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
102, 6, 8, 9syl3anc 1473 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}:{𝑋, 𝑌}⟶{(1r𝑅), ((invg𝑅)‘𝐴)})
11 prfi 8392 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ Fin
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ Fin)
13 snlindsntor.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
14 fvex 6354 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
1513, 14eqeltri 2827 . . . . . 6 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 0 ∈ V)
1710, 12, 16fdmfifsupp 8442 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 )
187anim2i 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
1918adantr 472 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌))
20 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
21 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
22 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2320, 21, 22lmod1cl 19084 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
24 simp1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑋𝐵)
2523, 24anim12ci 592 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
2625adantr 472 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆))
27 simp2 1131 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → 𝑌𝐵)
2827ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑌𝐵)
2920lmodfgrp 19066 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
3029adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → 𝑅 ∈ Grp)
31 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → 𝐴𝑆)
32 eqid 2752 . . . . . . . 8 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3321, 32grpinvcl 17660 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
3430, 31, 33syl2an 495 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)
35 snlindsntor.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
36 snlindsntor.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
37 eqid 2752 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
38 eqid 2752 . . . . . . 7 {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}
3935, 20, 21, 36, 37, 38lincvalpr 42709 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆)) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
4019, 26, 28, 34, 39syl112anc 1477 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)))
41 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑀 ∈ LMod)
4224ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋𝐵)
4331adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝐴𝑆)
4442, 28, 433jca 1122 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆))
4541, 44jca 555 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)))
46 simprr 813 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → 𝑋 = (𝐴 · 𝑌))
47 snlindsntor.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
4835, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32ldepsprlem 42763 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
4945, 46, 48sylc 65 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (((1r𝑅) · 𝑋)(+g𝑀)(((invg𝑅)‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
5040, 49eqtrd 2786 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍)
5120lmodring 19065 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
52 eqcom 2759 . . . . . . . . . . . 12 ((1r𝑅) = (0g𝑅) ↔ (0g𝑅) = (1r𝑅))
53 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5421, 53, 2201eq0ring 19466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → 𝑆 = {(0g𝑅)})
55 sneq 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → {(0g𝑅)} = {(1r𝑅)})
5655eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} ↔ 𝑆 = {(1r𝑅)}))
57 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆𝐴 ∈ {(1r𝑅)}))
58 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → 𝐴 = (1r𝑅))
59 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝐴 · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
6059eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌)))
6127anim1i 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑌𝐵𝑀 ∈ LMod))
6261ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
6335, 20, 36, 22lmodvs1 19085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6564eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
66 eqneqall 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑋𝑌 → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
68673ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = 𝑌 → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
7065, 69sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) ∧ 𝑀 ∈ LMod) → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7271com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = ((1r𝑅) · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))
7360, 72syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 = (1r𝑅) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7458, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ {(1r𝑅)} → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7557, 74syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = {(1r𝑅)} → (𝐴𝑆 → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7675impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7776com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 = {(1r𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
7856, 77syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0g𝑅) = (1r𝑅) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → (𝑆 = {(0g𝑅)} → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8054, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) = (1r𝑅)) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8180ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) = (1r𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8252, 81syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8382com25 99 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))))))
8451, 83mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))))
8584imp31 447 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
86 orc 399 . . . . . . . 8 (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8785, 86pm2.61d1 171 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
8813eqeq2i 2764 . . . . . . . . 9 ((1r𝑅) = 0 ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅))
8988necon3abii 2970 . . . . . . . 8 ((1r𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (1r𝑅) = (0g𝑅))
9089orbi1i 543 . . . . . . 7 (((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1r𝑅) = (0g𝑅) ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
9187, 90sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
92 fvexd 6356 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ V)
93 fvpr1g 6614 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9442, 92, 8, 93syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) = (1r𝑅))
9594neeq1d 2983 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ↔ (1r𝑅) ≠ 0 ))
96 fvexd 6356 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V)
97 fvpr2g 6615 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ V ∧ 𝑋𝑌) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9828, 96, 8, 97syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) = ((invg𝑅)‘𝐴))
9998neeq1d 2983 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ↔ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 ))
10095, 99orbi12d 748 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ((({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ) ↔ ((1r𝑅) ≠ 0 ∨ ((invg𝑅)‘𝐴) ≠ 0 )))
10191, 100mpbird 247 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
102 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋))
103102neeq1d 2983 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ))
104 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑌 → ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌))
105104neeq1d 2983 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑌 → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 ))
106103, 105rexprg 4371 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
1072, 106syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ↔ (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑋) ≠ 0 ∨ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑌) ≠ 0 )))
108101, 107mpbird 247 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )
10923adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
110109adantr 472 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
111 fvex 6354 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
11221, 111eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
1138, 112jctir 562 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (𝑋𝑌𝑆 ∈ V))
11438mapprop 42626 . . . . . 6 (((𝑋𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆) ∧ (𝑌𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝐴) ∈ 𝑆) ∧ (𝑋𝑌𝑆 ∈ V)) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌}))
11542, 110, 28, 34, 113, 114syl221anc 1484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌}))
116 breq1 4799 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓 finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ))
117 oveq1 6812 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}))
118117eqeq1d 2754 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍))
119 fveq1 6343 . . . . . . . . 9 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (𝑓𝑣) = ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣))
120119neeq1d 2983 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
121120rexbidv 3182 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → (∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ))
122116, 118, 1213anbi123d 1540 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
123122adantl 473 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) ∧ 𝑓 = {⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ) ↔ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 )))
124115, 123rspcedv 3445 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → (({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩} ( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} ({⟨𝑋, (1r𝑅)⟩, ⟨𝑌, ((invg𝑅)‘𝐴)⟩}‘𝑣) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
12517, 50, 108, 124mp3and 1568 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 ))
126 prelpwi 5056 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
1271263adant3 1126 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
128127ad2antlr 765 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵)
12935, 47, 20, 21, 13islindeps 42744 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝐵) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
13041, 128, 129syl2anc 696 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (𝑆𝑚 {𝑋, 𝑌})(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀){𝑋, 𝑌}) = 𝑍 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝑓𝑣) ≠ 0 )))
131125, 130mpbird 247 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) ∧ (𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌))) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀)
132131ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝑌)) → ((𝐴𝑆𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → {𝑋, 𝑌} linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wrex 3043  Vcvv 3332  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  {cpr 4315  cop 4319   class class class wbr 4796  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑚 cmap 8015  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8432  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294  Grpcgrp 17615  invgcminusg 17616  1rcur 18693  Ringcrg 18739  LModclmod 19057   linC clinc 42695   linDepS clindeps 42732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-lmod 19059  df-linc 42697  df-lininds 42733  df-lindeps 42735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator