Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsprlem 41579
Description: Lemma for ldepspr 41580. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
ldepsprlem.1 1 = (1r𝑅)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6623 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
21oveq1d 6630 . . 3 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6lmod1cl 18830 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 1𝑆)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 1𝑆)
9 simpr3 1067 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝐴𝑆)
10 simpr2 1066 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑌𝐵)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
13 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 18828 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1𝑆𝐴𝑆𝑌𝐵)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1325 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
1615eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌))
1716oveq1d 6630 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
184lmodring 18811 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
205, 13, 6ringlidm 18511 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑆) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
2322oveq1d 6630 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
244lmodfgrp 18812 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
265, 25grpinvcl 17407 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 494 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
28 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
29 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 18827 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆𝑌𝐵)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
335, 29, 32, 25grprinv 17409 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3534oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑀)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 18836 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38373ad2antr2 1225 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2661 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2655 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2677 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4342ex 450 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  1rcur 18441  Ringcrg 18487  LModclmod 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805
This theorem is referenced by:  ldepspr  41580
  Copyright terms: Public domain W3C validator