Theorem ldgenpisys 31420

Description: The lambda system 𝐸 generated by a pi-system 𝑇 is also a pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisys	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝐸,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑦,𝑂   𝑦,𝑇   𝑥,𝑉   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝑃(𝑠)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldgenpisys

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
2		ldgenpisys.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
3		dynkin.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
4		dynkin.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
5		ssrab2 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
6		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
7		dynkin.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
8	6, 7	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠})
9	5, 8	sseldi 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
10	9	elpwid 4552	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
11	3, 4, 10	ldsysgenld 31414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)
12	2, 11	eqeltrid 2917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐿)
13	12, 3	eleqtrdi 2923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))})
14	1, 13	sseldi 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
15		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑏 ∈ 𝐸)
16		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝑎 ∈ 𝐸)
17	4	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝑉)
18	6	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ∈ 𝑃)
19		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑎 ∈ 𝐸)
20	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
21	20	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝑂)
22		incom 4177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ 𝑏)
23	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑂 ∈ 𝑉)
24	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ 𝑃)
25		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ 𝑇)
26	7, 3, 23, 2, 24, 25	ldgenpisyslem3 31419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
27		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ 𝐸)
28	26, 27	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
29		ineq2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑏 ∩ 𝑐) = (𝑏 ∩ 𝑎))
30	29	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
31	30	elrab 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑏 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
32	28, 31	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸))
33	32	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∩ 𝑎) ∈ 𝐸)
34	22, 33	eqeltrrid 2918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
35	21, 34	jca 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
36		ineq2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏))
37	36	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 ↔ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
38	37	elrab 3679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
39	35, 38	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
40	39	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → (𝑏 ∈ 𝑇 → 𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸}))
41	40	ssrdv 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝑇 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
42	7, 3, 17, 2, 18, 19, 41	ldgenpisyslem2 31418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐸) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
43	16, 42	syldan 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → 𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸})
44		ssrab 4048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ⊆ {𝑐 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸} ↔ (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
45	43, 44	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸))
46	45	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → ∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸)
47	37	rspcv 3617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (∀𝑐 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑐) ∈ 𝐸 → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸))
48	15, 46, 47	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ 𝐸)) → (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
49	48	ralrimivva 3191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸)
50		inficl 8883	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐿 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
51	12, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐸 ∀𝑏 ∈ 𝐸 (𝑎 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (fi‘𝐸) = 𝐸))
52	49, 51	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) = 𝐸)
53		eqimss 4022	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐸) = 𝐸 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸)
55	14, 54	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
56	7	ispisys 31406	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝐸) ⊆ 𝐸))
57	55, 56	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4831  ∩ cint 4868  Disj wdisj 5023   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  ωcom 7574   ≼ cdom 8501  ficfi 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-siga 31363

This theorem is referenced by:  dynkin  31421