Theorem ldgenpisyslem1 31417

Description: Lemma for ldgenpisys 31420. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem1	⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2		dynkin.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		pwexg 5271	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4		rabexg 5226	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5		elpwg 4544	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
7	1, 6	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8		ineq2 4182	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
9	8	eleq1d 2897	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
10		0elpw 5248	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑂
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
12		dynkin.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
13	12	isldsys 31410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
14	13	simprbi 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
15	14	simp1d 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
16	15	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
17	16	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
18	17	ralrimiva 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19		0ex 5203	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
20	19	elintrab 4880	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
22		in0 4344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
23		ldgenpisys.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
24	21, 22, 23	3eltr4g 2930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
25	9, 11, 24	elrabd 3681	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
26		ineq2 4182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑥))
27	26	eleq1d 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
28	27	elrab 3679	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
29		pwidg 4555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
31	30	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
32	31	elpwdifcl 30281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
33	12	pwldsys 31411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
35		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
36		dynkin.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
37	36	ispisys 31406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
38	35, 37	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
39	38	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
40	39	elpwid 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
41		sseq2 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
42	41	intminss 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
43	34, 40, 42	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
44	23, 43	eqsstrid 4014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
45		ldgenpisyslem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
46	44, 45	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
47	46	elpwid 4552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
48	47	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
49		difin 4237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∖ 𝑥)
50		difin2 4265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
51	49, 50	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
52		incom 4177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥))
53	51, 52	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
54		difuncomp 30299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
55	53, 54	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
57		difeq2 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → (𝑂 ∖ 𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
58	57	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → ((𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡))
59	14	simp2d 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
60	59	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
61		difeq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑦))
62	61	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡))
63	62	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
64	60, 63	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
65		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
66	45, 23	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
67		elintrabg 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
68	45, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
69	66, 68	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
70	69	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
71	70	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
72	71	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
73		difeq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐴))
74	73	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡))
75	59	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
76		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
77	74, 75, 76	rspcdva 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
78	65, 72, 77	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
79		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
80	79	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)
81	80, 23	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
82		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
83	82	inex2 5214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V
84		elintrabg 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
85	83, 84	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
86	81, 85	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
87		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
88		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
89	88	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
90	86, 65, 87, 89	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
91		incom 4177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))
92		inss1 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴
93		disjdif 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
94		ssdisj 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
95	92, 93, 94	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
96	91, 95	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅)
98	12, 65, 78, 90, 97	unelldsys 31412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) ∈ 𝑡)
99	58, 64, 98	rspcdva 3624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡)
100	56, 99	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)
101	100	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
102	101	ralrimiva 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
103		inex1g 5215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
104	45, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
105	104	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
106		elintrabg 4881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
108	102, 107	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
109	108, 23	eleqtrrdi 2924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸)
110	32, 109	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
111	28, 110	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
112		ineq2 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
113	112	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
114	113	elrab 3679	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
115	111, 114	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
116	115	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
117		ineq2 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥))
118	117	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸))
119		sspwb 5333	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
120	1, 119	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
121		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
122	120, 121	sseldi 3964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
123	122	elpwunicl 30300	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
124		uniin2 30298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥)
125		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
126	125	inex2 5214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ V
127	126	dfiun3 5831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
128	124, 127	eqtr3i 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
129		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
130		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
131		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
132		nfdisj1 5037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
133	131, 132	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
134	130, 133	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
135		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑡 ∈ 𝐿
136	134, 135	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿)
137		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑇 ⊆ 𝑡
138	136, 137	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡)
139		elpwi 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
140	139	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
141	140	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
142		ineq2 4182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑦))
143	142	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
144	143	elrab 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
145	144	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
146	141, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
147		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝐿)
148		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
149	23	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
150	126	elintrab 4880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
151	149, 150	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
152		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
153	151, 152	sylanb 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
154	153	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
155	146, 147, 148, 154	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
156	155	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
157	138, 156	ralrimi 3216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
158		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
159	158	rnmptss 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
160	157, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
161	129, 160	sselpwd 5222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
162		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
163	162	simpld 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
164		1stcrestlem 22054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
166	162	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
167		disjin2 30331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦))
168		disjrnmpt 30329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
169	166, 167, 168	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
170		nfmpt1 5156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
171	170	nfrn 5818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
172		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
173		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧)
175	171, 172, 173, 174	cbvdisjf 30315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦 ↔ Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
176	169, 175	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)
177		breq1 5061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω))
178	173, 171	disjeq1f 30317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦))
179	177, 178	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)))
180		unieq 4839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ∪ 𝑧 = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)))
181	180	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
182	179, 181	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)))
183	14	simp3d 1140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
184		breq1 5061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
185		disjeq1 5030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
186	184, 185	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
187		unieq 4839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
188	187	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
189	186, 188	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡)))
190	189	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
191	183, 190	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
192	191	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
193		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
194	182, 192, 193	rspcdva 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
195	194	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
196	129, 161, 165, 176, 195	syl22anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
197	128, 196	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡)
198	197	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
199	198	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
200		vuniex 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
201	200	inex2 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ V
202	201	elintrab 4880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
203	199, 202	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
204	203, 23	eleqtrrdi 2924	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸)
205	118, 123, 204	elrabd 3681	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
206	205	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
207	206	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
208	25, 116, 207	3jca 1124	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})))
209	12	isldsys 31410	. 2 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))))
210	7, 208, 209	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4831  ∩ cint 4868  ∪ ciun 4911  Disj wdisj 5023   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ran crn 5550  ‘cfv 6349  ωcom 7574   ≼ cdom 8501  ficfi 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  31418