Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldilco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldilco 34219
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ldilco.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ldilco (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1077 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐾𝑉)
2 ldilco.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2605 . . . . 5 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ldilco.d . . . . 5 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ldillaut 34214 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
653adant3 1073 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
72, 3, 4ldillaut 34214 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷) → 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾))
873adant2 1072 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾))
93lautco 34200 . . 3 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (LAut‘𝐾)) → (𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾))
101, 6, 8, 9syl3anc 1317 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾))
11 simp11 1083 . . . . . . . 8 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾𝑉𝑊𝐻))
12 simp13 1085 . . . . . . . 8 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺𝐷)
13 eqid 2605 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 2, 4ldil1o 34215 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1511, 12, 14syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 f1of 6031 . . . . . . 7 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
18 simp2 1054 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
19 fvco3 6166 . . . . . 6 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
2017, 18, 19syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
21 simp3 1055 . . . . . . 7 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝑥(le‘𝐾)𝑊)
22 eqid 2605 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2313, 22, 2, 4ldilval 34216 . . . . . . 7 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1321 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
2524fveq2d 6088 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
26 simp12 1084 . . . . . 6 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹𝐷)
2713, 22, 2, 4ldilval 34216 . . . . . 6 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1321 . . . . 5 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
2920, 25, 283eqtrd 2643 . . . 4 ((((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥)
30293exp 1255 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥)))
3130ralrimiv 2943 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))
3213, 22, 2, 3, 4isldil 34213 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → ((𝐹𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))))
33323ad2ant1 1074 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑊 → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = 𝑥))))
3410, 31, 33mpbir2and 958 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891   class class class wbr 4573  ccom 5028  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  Basecbs 15637  lecple 15717  LHypclh 34087  LAutclaut 34088  LDilcldil 34203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-map 7719  df-laut 34092  df-ldil 34207
This theorem is referenced by:  ltrnco  34824
  Copyright terms: Public domain W3C validator