Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0v 36166
Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z 0 = (0g𝑅)
ldualv0.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o 𝑂 = (0g𝐷)
ldualv0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0v (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2 ldualv0.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 ldualv0.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2818 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
6 ldualv0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualv0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 ldualv0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
92, 7, 8, 1lfl0f 36085 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10ldualvadd 36145 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })))
128, 2, 3, 7, 1, 6, 10lfladd0l 36090 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
1311, 12eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
144, 6ldualgrp 36162 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
15 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
161, 4, 15, 6, 10ldualelvbase 36143 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17 ldualv0.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐷)
1815, 5, 17grpid 18077 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
1914, 16, 18syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
2013, 19mpbid 233 1 (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  LModclmod 19563  LFnlclfn 36073  LDualcld 36139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lfl 36074  df-ldual 36140
This theorem is referenced by:  ldual0vcl  36167  lkr0f2  36177  lduallkr3  36178  lclkrlem1  38522  lclkrlem2j  38532  lcd0v  38627  lcd0v2  38628
  Copyright terms: Public domain W3C validator