Theorem ldualgrplem 36283

Description: Lemma for ldualgrp 36284. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
ldualgrp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
ldualgrp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrplem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualgrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		ldualgrp.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 36264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2824	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		eqid 2823	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
9	4	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
11		simp3 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	ldualvaddcl 36268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13		ldualgrp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simpr2 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
17		simpr3 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	1, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvadd 36267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
19	18	oveq2d 7174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
20		simpr1 1190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	1, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvaddcl 36268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
22	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21	ldualvadd 36267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
23	1, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvaddcl 36268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
24	1, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17	ldualvadd 36267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
25	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvadd 36267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
26	25	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	13, 14, 1, 15, 20, 16, 17	lfladdass 36211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	24, 26, 27	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	19, 22, 28	3eqtr4rd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
30		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31		ldualgrp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
32	13, 30, 31, 1	lfl0f 36207	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
33	4, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
34	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
35	33	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
36		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
37	1, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36	ldualvadd 36267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
38	31, 13, 14, 30, 1, 34, 36	lfladd0l 36212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
39	37, 38	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = 𝑥)
40		eqid 2823	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
41		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))
42	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36	lflnegcl 36213	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∈ 𝐹)
43	1, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36	ldualvadd 36267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
44	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30	lflnegl 36214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
46	6, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45	isgrpd 18127	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  inv_gcminusg 18106  opp_rcoppr 19374  LModclmod 19636  LFnlclfn 36195  LDualcld 36261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lfl 36196  df-ldual 36262

This theorem is referenced by:  ldualgrp  36284