Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualssvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualssvscl 33960
Description: Closure of scalar product in a dual subspace.) (Contributed by NM, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualssvscl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualssvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualssvscl.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualssvscl.t · = ( ·𝑠𝐷)
ldualssvscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
ldualssvscl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualssvscl.u (𝜑𝑈𝑆)
ldualssvscl.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualssvscl.y (𝜑𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
ldualssvscl (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem ldualssvscl
StepHypRef Expression
1 ldualssvscl.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualssvscl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 33955 . 2 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualssvscl.u . 2 (𝜑𝑈𝑆)
5 ldualssvscl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
6 ldualssvscl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 ldualssvscl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
9 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
106, 7, 1, 8, 9, 2ldualsbase 33935 . . 3 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝐾)
115, 10eleqtrrd 2701 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
12 ldualssvscl.y . 2 (𝜑𝑌𝑈)
13 ldualssvscl.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐷)
14 ldualssvscl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝐷)
158, 13, 9, 14lssvscl 18887 . 2 (((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)) ∧ 𝑌𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
163, 4, 11, 12, 15syl22anc 1324 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876   ·𝑠 cvsca 15877  LModclmod 18795  LSubSpclss 18864  LDualcld 33925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lfl 33860  df-ldual 33926
This theorem is referenced by:  lcfrlem16  36362  lcfrlem37  36383  mapdrvallem2  36449
  Copyright terms: Public domain W3C validator