Theorem ldualvs 34945

Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))

Proof of Theorem ldualvs

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ldualfvs 34944	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))))
11	10	oveqd 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺))
12		ldualvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13		ldualvs.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14		sneq 4331	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → {𝑘} = {𝑋})
15	14	xpeq2d 5296	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {𝑋}))
16	15	oveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘})) = (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
17		oveq1 6821	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})) = (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
18		ovex 6842	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})) ∈ V
19	16, 17, 9, 18	ovmpt2 6962	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
20	12, 13, 19	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
21	11, 20	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816   ∘_𝑓 cof 7061  Basecbs 16079  ._rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·_𝑠 cvsca 16167  LFnlclfn 34865  LDualcld 34931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ldual 34932

This theorem is referenced by:  ldualvsval  34946  ldualvscl  34947  ldualvsass  34949  ldualvsdi1  34951  ldualvsdi2  34952  lduallmodlem  34960  eqlkr4  34973  ldual1dim  34974  ldualkrsc  34975  lkrss  34976