Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvs 34945
Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualvs.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvs.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvs (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))

Proof of Theorem ldualvs
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
6 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7 ldualfvs.s . . . 4 = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
9 eqid 2760 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualfvs 34944 . . 3 (𝜑 = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))))
1110oveqd 6831 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺))
12 ldualvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
13 ldualvs.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
14 sneq 4331 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑋 → {𝑘} = {𝑋})
1514xpeq2d 5296 . . . . 5 (𝑘 = 𝑋 → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {𝑋}))
1615oveq2d 6830 . . . 4 (𝑘 = 𝑋 → (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})) = (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
17 oveq1 6821 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑋})) = (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
18 ovex 6842 . . . 4 (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})) ∈ V
1916, 17, 9, 18ovmpt2 6962 . . 3 ((𝑋𝐾𝐺𝐹) → (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
2012, 13, 19syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
2111, 20eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝐺𝑓 × (𝑉 × {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  𝑓 cof 7061  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  LFnlclfn 34865  LDualcld 34931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ldual 34932
This theorem is referenced by:  ldualvsval  34946  ldualvscl  34947  ldualvsass  34949  ldualvsdi1  34951  ldualvsdi2  34952  lduallmodlem  34960  eqlkr4  34973  ldual1dim  34974  ldualkrsc  34975  lkrss  34976
  Copyright terms: Public domain W3C validator