Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubcl 33962
Description: Closure of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubcl.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubcl.m = (-g𝐷)
ldualvsubcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubcl.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubcl.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubcl (𝜑 → (𝐺 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2621 . . 3 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
3 eqid 2621 . . 3 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
4 ldualvsubcl.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualvsubcl.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 eqid 2621 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2621 . . 3 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualvsubcl.m . . 3 = (-g𝐷)
9 ldualvsubcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
10 ldualvsubcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
11 ldualvsubcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualvsub 33961 . 2 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
13 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
141lmodring 18811 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
159, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
16 ringgrp 18492 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
1813, 3ringidcl 18508 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2013, 2grpinvcl 17407 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2117, 19, 20syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
224, 1, 13, 5, 7, 9, 21, 11ldualvscl 33945 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
234, 5, 6, 9, 10, 22ldualvaddcl 33936 . 2 (𝜑 → (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝐷)𝐻)) ∈ 𝐹)
2412, 23eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝐺 𝐻) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  1rcur 18441  Ringcrg 18487  LModclmod 18803  LFnlclfn 33863  LDualcld 33929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-lmod 18805  df-lfl 33864  df-ldual 33930
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  36352  lcfrlem30  36380
  Copyright terms: Public domain W3C validator