Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 34270
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 34268? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m = (-g𝐷)
ldualvsubval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 34266 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 34240 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 34240 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐷)
12 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2621 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2621 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 18912 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1325 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
1817fveq1d 6191 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21 eqid 2621 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
22 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2312lmodfgrp 18866 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
2512lmodring 18865 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
2827, 15ringidcl 18562 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3027, 14grpinvcl 17461 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3124, 29, 30syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 34246 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
3331, 32eleqtrd 2702 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 34252 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 34244 . 2 (𝜑 → ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 34262 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg𝑅))
39 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 34261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r𝑅))
4138, 40fveq12d 6195 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4241oveq1d 6662 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻))
4342fveq1d 6191 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋))
44 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4520lmodring 18865 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 18546 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 18884 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 37grpinvcl 17461 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 693 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 34251 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
5420, 22, 19, 4lflcl 34177 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
552, 8, 35, 54syl3anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5622, 44, 39, 37, 46, 55rngnegr 18589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5743, 53, 563eqtrd 2659 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5857oveq2d 6663 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
5920, 22, 19, 4lflcl 34177 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
602, 6, 35, 59syl3anc 1325 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6222, 21, 37, 61grpsubval 17459 . . . 4 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6360, 55, 62syl2anc 693 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6458, 63eqtr4d 2658 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
6518, 36, 643eqtrd 2659 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  .rcmulr 15936  Scalarcsca 15938   ·𝑠 cvsca 15939  Grpcgrp 17416  invgcminusg 17417  -gcsg 17418  1rcur 18495  Ringcrg 18541  LModclmod 18857  LFnlclfn 34170  LDualcld 34236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-tpos 7349  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-cmn 18189  df-abl 18190  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-oppr 18617  df-lmod 18859  df-lfl 34171  df-ldual 34237
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  36657
  Copyright terms: Public domain W3C validator