Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 36173
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 36171? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m = (-g𝐷)
ldualvsubval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 36169 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 36143 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 36143 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 eqid 2818 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐷)
12 eqid 2818 . . . . 5 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2818 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2818 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2818 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 19618 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
1817fveq1d 6665 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21 eqid 2818 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
22 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2312lmodfgrp 19572 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
2512lmodring 19571 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
2827, 15ringidcl 19247 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3027, 14grpinvcl 18089 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3124, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 36149 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
3331, 32eleqtrd 2912 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 36155 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 36147 . 2 (𝜑 → ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 36165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg𝑅))
39 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 36164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r𝑅))
4138, 40fveq12d 6670 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4241oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻))
4342fveq1d 6665 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋))
44 eqid 2818 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4520lmodring 19571 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19231 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 19590 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 37grpinvcl 18089 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 36154 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
5420, 22, 19, 4lflcl 36080 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
552, 8, 35, 54syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5622, 44, 39, 37, 46, 55rngnegr 19274 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5743, 53, 563eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5857oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
5920, 22, 19, 4lflcl 36080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
602, 6, 35, 59syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6222, 21, 37, 61grpsubval 18087 . . . 4 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6360, 55, 62syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6458, 63eqtr4d 2856 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
6518, 36, 643eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  -gcsg 18043  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  LFnlclfn 36073  LDualcld 36139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-lmod 19565  df-lfl 36074  df-ldual 36140
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  38558
  Copyright terms: Public domain W3C validator