Theorem ldualvsval 36278

Description: Value of scalar product operation value for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsval	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Proof of Theorem ldualvsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		ldualvs.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 36277	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
12	11	fveq1d 6675	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴))
13		ldualvs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2	fvexi 6687	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
16	3, 4, 2, 1	lflf 36203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
17	8, 10, 16	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
18	17	ffnd 6518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
19		eqidd 2825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
20	15, 9, 18, 19	ofc2 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
21	13, 20	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋}))‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))
22	12, 21	eqtrd 2859	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∙ 𝐺)‘𝐴) = ((𝐺‘𝐴) × 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497  {csn 4570   × cxp 5556  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘_f cof 7410  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569  Scalarcsca 16571   ·_𝑠 cvsca 16572  LFnlclfn 36197  LDualcld 36263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-lfl 36198  df-ldual 36264

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  36297  lcfrlem1  38682  lcdvsval  38744