MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem le2addd 10593
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
le2addd.5 (𝜑𝐴𝐶)
le2addd.6 (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
le2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
2 le2addd.6 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
3 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lt2addd.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
7 le2add 10457 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷)))
91, 2, 8mp2and 714 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cr 9882   + caddc 9886  cle 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027
This theorem is referenced by:  supadd  10938  o1add  14281  o1sub  14283  o1fsum  14475  sadcaddlem  15106  4sqlem11  15586  4sqlem12  15587  4sqlem15  15590  4sqlem16  15591  prdsxmetlem  22086  nrmmetd  22292  nmotri  22456  pcoass  22737  minveclem2  23110  ovollb2lem  23169  ovolunlem1a  23177  ovoliunlem1  23183  nulmbl2  23217  ioombl1lem4  23242  uniioombllem5  23268  itg2splitlem  23428  itg2addlem  23438  ibladdlem  23499  ulmbdd  24063  cxpaddle  24400  ang180lem2  24447  fsumharmonic  24645  lgamgulmlem3  24664  lgamgulmlem5  24666  ppiub  24836  lgsdirprm  24963  lgsqrlem2  24979  lgseisenlem2  25008  2sqlem8  25058  vmadivsumb  25079  dchrisumlem2  25086  dchrisum0lem1b  25111  mulog2sumlem1  25130  mulog2sumlem2  25131  selbergb  25145  selberg2b  25148  chpdifbndlem1  25149  logdivbnd  25152  selberg3lem2  25154  pntrlog2bnd  25180  pntpbnd2  25183  pntibndlem2  25187  pntlemr  25198  ostth2lem2  25230  ostth3  25234  smcnlem  27413  minvecolem2  27592  stadd3i  28968  le2halvesd  29376  dnibndlem9  32139  ismblfin  33103  itg2addnc  33117  ibladdnclem  33119  ftc1anclem7  33144  pell1qrgaplem  36938  pellqrex  36944  pellfundgt1  36948  areaquad  37304  imo72b2lem0  37968  int-ineq1stprincd  37998  dvdivbd  39461  fourierdlem30  39677  sge0xaddlem2  39974  carageniuncllem2  40059
  Copyright terms: Public domain W3C validator