MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leabsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leabsd 14134
Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqrcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
leabsd (𝜑𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabsd
StepHypRef Expression
1 resqrcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 leabs 14020 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  cr 9920  cle 10060  abscabs 13955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14237  o1rlimmul  14330  nm2dif  22410  trirn  23164  mtestbdd  24140  abscxpbnd  24475  cxploglim2  24686  logexprlim  24931  rplogsumlem2  25155  dchrvmasumlem2  25168  dchrvmasumlem3  25169  dchrisum0flblem1  25178  dchrisum0fno1  25181  dchrisum0lem1  25186  mulog2sumlem2  25205  selberglem2  25216  chpdifbndlem1  25223  selberg3lem1  25227  pntrsumo1  25235  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem3  25249  leopnmid  28967  dnibndlem7  32449  dnibndlem8  32450  dnibndlem12  32454  bddiblnc  33451  geomcau  33526  radcnvrat  38333  rexabslelem  39458  climleltrp  39708  ioodvbdlimc1lem1  39909  ioodvbdlimc1lem2  39910  ioodvbdlimc2lem  39912  fourierdlem77  40163  ioorrnopnlem  40287  sge0isum  40407  hoicvr  40525  smflimlem4  40745  smfmullem1  40761
  Copyright terms: Public domain W3C validator