Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leadd12dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd12dd 41460
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
leadd12dd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
leadd12dd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leadd12dd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd12dd.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
leadd12dd.ac (𝜑𝐴𝐶)
leadd12dd.bd (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
leadd12dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem leadd12dd
StepHypRef Expression
1 leadd12dd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 leadd12dd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10658 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 leadd12dd.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54, 2readdcld 10658 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 leadd12dd.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10658 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8 leadd12dd.ac . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
91, 4, 2, 8leadd1dd 11242 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10 leadd12dd.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
112, 6, 4, 10leadd2dd 11243 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
123, 5, 7, 9, 11letrd 10785 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  42592  hoidmvlelem2  42755  hspmbllem2  42786  smfmullem1  42943
  Copyright terms: Public domain W3C validator