Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leadd12dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd12dd 38993
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
leadd12dd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
leadd12dd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
leadd12dd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd12dd.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
leadd12dd.ac (𝜑𝐴𝐶)
leadd12dd.bd (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
leadd12dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem leadd12dd
StepHypRef Expression
1 leadd12dd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 leadd12dd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10013 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 leadd12dd.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
54, 2readdcld 10013 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 leadd12dd.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10013 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
8 leadd12dd.ac . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
91, 4, 2, 8leadd1dd 10585 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐵))
10 leadd12dd.bd . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
112, 6, 4, 10leadd2dd 10586 . 2 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
123, 5, 7, 9, 11letrd 10138 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879   + caddc 9883  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  39954  hoidmvlelem2  40114  hspmbllem2  40145  smfmullem1  40302
  Copyright terms: Public domain W3C validator