MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd1dd 10485
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leadd1dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4leadd1d 10465 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
61, 5mpbid 220 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975   class class class wbr 4572  (class class class)co 6522  cr 9786   + caddc 9790  cle 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-ov 6525  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931
This theorem is referenced by:  lesub3d  10489  supaddc  10832  rpnnen1lem5  11645  rpnnen1lem5OLD  11651  xleadd1a  11907  fzoaddel  12338  fladdz  12438  ltdifltdiv  12447  bernneq3  12804  caucvgrlem  14192  eirrlem  14712  vdwlem3  15466  vdwlem9  15472  vdwlem10  15473  2expltfac  15578  pcoass  22558  trirn  22903  minveclem2  22917  ovolfiniun  22988  ovolshftlem1  22996  unmbl  23024  uniioombllem5  23073  opnmbllem  23087  vitalilem2  23096  itg2split  23234  dvfsumlem2  23506  dvfsumlem4  23508  dvfsum2  23513  fta1glem2  23642  coemullem  23722  fta1lem  23778  leibpi  24381  log2tlbnd  24384  jensenlem2  24426  harmonicubnd  24448  harmonicbnd4  24449  lgamgulmlem5  24471  lgambdd  24475  ppiub  24641  bcmono  24714  bposlem5  24725  mulog2sumlem2  24936  selberg2lem  24951  chpdifbndlem1  24954  pntrlog2bndlem2  24979  pntpbnd2  24988  pntibndlem2  24992  pntlemg  24999  pntlemk  25007  pntlemo  25008  qabvle  25026  ostth2lem3  25036  minvecolem2  26916  nndiffz1  28737  reofld  28972  dya2icoseg  29467  rescon  30283  poimirlem15  32392  opnmbllem0  32413  itg2addnclem3  32431  bfplem2  32590  pellexlem2  36210  rmygeid  36347  jm3.1lem2  36401  fzisoeu  38253  absnpncan2d  38255  absnpncan3d  38260  leadd12dd  38272  iccshift  38390  fsumnncl  38437  climsuselem1  38473  sumnnodd  38496  climleltrp  38542  dvbdfbdioolem2  38618  ioodvbdlimc1lem1  38620  ioodvbdlimc1lem2  38621  ioodvbdlimc2lem  38623  dvnmul  38632  iblspltprt  38664  itgspltprt  38670  itgiccshift  38671  itgperiod  38672  stoweidlem1  38693  stoweidlem11  38703  stoweidlem14  38706  stoweidlem26  38718  stoweidlem44  38736  stirlinglem11  38776  fourierdlem10  38809  fourierdlem11  38810  fourierdlem15  38814  fourierdlem30  38829  fourierdlem42  38841  fourierdlem68  38866  fourierdlem79  38877  fourierdlem92  38890  sge0xaddlem1  39125  carageniuncllem2  39211  hoidmv1lelem1  39280  ovolval5lem1  39341  smfmullem1  39475
  Copyright terms: Public domain W3C validator