Theorem leadd1dd 11246

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 11226	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℝcr 10528   + caddc 10532   ≤ cle 10668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673

This theorem is referenced by:  lesub3d  11250  supaddc  11600  rpnnen1lem5  12372  xleadd1a  12638  fzoaddel  13082  fladdz  13187  ltdifltdiv  13196  bernneq3  13584  caucvgrlem  15021  eirrlem  15549  vdwlem3  16311  vdwlem9  16317  vdwlem10  16318  2expltfac  16418  pcoass  23620  trirn  23995  minveclem2  24021  ovolfiniun  24094  ovolshftlem1  24102  unmbl  24130  uniioombllem5  24180  opnmbllem  24194  vitalilem2  24202  itg2split  24342  dvfsumlem2  24616  dvfsumlem4  24618  dvfsum2  24623  fta1glem2  24752  coemullem  24832  fta1lem  24888  leibpi  25512  log2tlbnd  25515  jensenlem2  25557  harmonicubnd  25579  harmonicbnd4  25580  lgamgulmlem5  25602  lgambdd  25606  ppiub  25772  bposlem5  25856  mulog2sumlem2  26103  selberg2lem  26118  chpdifbndlem1  26121  pntrlog2bndlem2  26146  pntpbnd2  26155  pntibndlem2  26159  pntlemg  26166  pntlemk  26174  pntlemo  26175  qabvle  26193  ostth2lem3  26203  minvecolem2  28644  nndiffz1  30501  wrdt2ind  30620  cycpmco2lem6  30766  reofld  30906  dya2icoseg  31528  resconn  32486  poimirlem15  34899  opnmbllem0  34920  itg2addnclem3  34937  bfplem2  35093  pellexlem2  39418  rmygeid  39552  jm3.1lem2  39606  fzisoeu  41557  absnpncan2d  41559  absnpncan3d  41564  leadd12dd  41574  iccshift  41784  fsumnncl  41842  climsuselem1  41878  sumnnodd  41901  climleltrp  41947  dvbdfbdioolem2  42204  ioodvbdlimc1lem1  42206  ioodvbdlimc1lem2  42207  ioodvbdlimc2lem  42209  dvnmul  42218  iblspltprt  42248  itgspltprt  42254  itgiccshift  42255  itgperiod  42256  stoweidlem1  42277  stoweidlem11  42287  stoweidlem14  42290  stoweidlem26  42302  stoweidlem44  42320  stirlinglem11  42360  fourierdlem10  42393  fourierdlem11  42394  fourierdlem15  42398  fourierdlem30  42413  fourierdlem42  42425  fourierdlem68  42450  fourierdlem79  42461  fourierdlem92  42474  sge0xaddlem1  42706  carageniuncllem2  42795  hoidmv1lelem1  42864  ovolval5lem1  42925  smfmullem1  43057