MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leadd1dd 10626
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
leadd1dd (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4leadd1d 10606 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920   + caddc 9924  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
This theorem is referenced by:  lesub3d  10630  supaddc  10975  rpnnen1lem5  11803  rpnnen1lem5OLD  11809  xleadd1a  12068  fzoaddel  12504  fladdz  12609  ltdifltdiv  12618  bernneq3  12975  caucvgrlem  14384  eirrlem  14913  vdwlem3  15668  vdwlem9  15674  vdwlem10  15675  2expltfac  15780  pcoass  22805  trirn  23164  minveclem2  23178  ovolfiniun  23250  ovolshftlem1  23258  unmbl  23286  uniioombllem5  23336  opnmbllem  23350  vitalilem2  23359  itg2split  23497  dvfsumlem2  23771  dvfsumlem4  23773  dvfsum2  23778  fta1glem2  23907  coemullem  23987  fta1lem  24043  leibpi  24650  log2tlbnd  24653  jensenlem2  24695  harmonicubnd  24717  harmonicbnd4  24718  lgamgulmlem5  24740  lgambdd  24744  ppiub  24910  bcmono  24983  bposlem5  24994  mulog2sumlem2  25205  selberg2lem  25220  chpdifbndlem1  25223  pntrlog2bndlem2  25248  pntpbnd2  25257  pntibndlem2  25261  pntlemg  25268  pntlemk  25276  pntlemo  25277  qabvle  25295  ostth2lem3  25305  minvecolem2  27701  nndiffz1  29522  reofld  29814  dya2icoseg  30313  resconn  31202  poimirlem15  33395  opnmbllem0  33416  itg2addnclem3  33434  bfplem2  33593  pellexlem2  37213  rmygeid  37350  jm3.1lem2  37404  fzisoeu  39327  absnpncan2d  39329  absnpncan3d  39334  leadd12dd  39345  iccshift  39547  fsumnncl  39603  climsuselem1  39639  sumnnodd  39662  climleltrp  39708  dvbdfbdioolem2  39907  ioodvbdlimc1lem1  39909  ioodvbdlimc1lem2  39910  ioodvbdlimc2lem  39912  dvnmul  39921  iblspltprt  39952  itgspltprt  39958  itgiccshift  39959  itgperiod  39960  stoweidlem1  39981  stoweidlem11  39991  stoweidlem14  39994  stoweidlem26  40006  stoweidlem44  40024  stirlinglem11  40064  fourierdlem10  40097  fourierdlem11  40098  fourierdlem15  40102  fourierdlem30  40117  fourierdlem42  40129  fourierdlem68  40154  fourierdlem79  40165  fourierdlem92  40178  sge0xaddlem1  40413  carageniuncllem2  40499  hoidmv1lelem1  40568  ovolval5lem1  40629  smfmullem1  40761
  Copyright terms: Public domain W3C validator