Theorem leadd2dd 11249

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 11229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   + caddc 10534   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11944  expmulnbnd  13590  discr1  13594  hashun2  13738  abstri  14684  iseraltlem2  15033  prmreclem4  16249  tcphcphlem1  23832  trirn  23997  nulmbl2  24131  voliunlem1  24145  uniioombllem4  24181  itg2split  24344  ulmcn  24981  abslogle  25195  emcllem2  25568  lgambdd  25608  chtublem  25781  chtub  25782  logfaclbnd  25792  bcmax  25848  chebbnd1lem2  26040  rplogsumlem1  26054  selberglem2  26116  selbergb  26119  chpdifbndlem1  26123  pntpbnd1a  26155  pntpbnd2  26157  pntibndlem2  26161  pntibndlem3  26162  pntlemg  26168  pntlemr  26172  pntlemk  26176  pntlemo  26177  ostth2lem3  26205  smcnlem  28468  minvecolem3  28647  staddi  30017  stadd3i  30019  nexple  31263  fsum2dsub  31873  resconn  32488  itg2addnc  34940  ftc1anclem8  34968  pell1qrgaplem  39463  leadd12dd  41577  ioodvbdlimc1lem2  42210  stoweidlem11  42290  stoweidlem26  42305  stirlinglem8  42360  stirlinglem12  42364  fourierdlem4  42390  fourierdlem10  42396  fourierdlem42  42428  fourierdlem47  42432  fourierdlem72  42457  fourierdlem79  42464  fourierdlem93  42478  fourierdlem101  42486  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  fourierdlem111  42496  hoidmv1lelem2  42868  vonioolem2  42957  vonicclem2  42960  p1lep2  43494  fmtnodvds  43700  lighneallem4a  43767