Theorem leadd2dd 10587

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 10567	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  ℝcr 9880   + caddc 9884   ≤ cle 10020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11291  expmulnbnd  12933  discr1  12937  hashun2  13109  abstri  13999  iseraltlem2  14342  prmreclem4  15542  tchcphlem1  22937  trirn  23086  nulmbl2  23206  voliunlem1  23220  uniioombllem4  23255  itg2split  23417  ulmcn  24052  abslogle  24263  emcllem2  24618  lgambdd  24658  chtublem  24831  chtub  24832  logfaclbnd  24842  bcmax  24898  chebbnd1lem2  25054  rplogsumlem1  25068  selberglem2  25130  selbergb  25133  chpdifbndlem1  25137  pntpbnd1a  25169  pntpbnd2  25171  pntibndlem2  25175  pntibndlem3  25176  pntlemg  25182  pntlemr  25186  pntlemk  25190  pntlemo  25191  ostth2lem3  25219  smcnlem  27392  minvecolem3  27572  staddi  28945  stadd3i  28947  nexple  29845  resconn  30928  itg2addnc  33082  ftc1anclem8  33110  pell1qrgaplem  36903  leadd12dd  38983  ioodvbdlimc1lem2  39440  stoweidlem11  39522  stoweidlem26  39537  stirlinglem8  39592  stirlinglem12  39596  fourierdlem4  39622  fourierdlem10  39628  fourierdlem42  39660  fourierdlem47  39664  fourierdlem72  39689  fourierdlem79  39696  fourierdlem93  39710  fourierdlem101  39718  fourierdlem103  39720  fourierdlem104  39721  fourierdlem111  39728  hoidmv1lelem2  40100  vonioolem2  40189  vonicclem2  40192  p1lep2  40599  fmtnodvds  40743  lighneallem4a  40812