Theorem leadd2dd 10680

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd2d 10660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐴) ≤ (𝐶 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973   + caddc 9977   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11384  expmulnbnd  13036  discr1  13040  hashun2  13210  abstri  14114  iseraltlem2  14457  prmreclem4  15670  tchcphlem1  23080  trirn  23229  nulmbl2  23350  voliunlem1  23364  uniioombllem4  23400  itg2split  23561  ulmcn  24198  abslogle  24409  emcllem2  24768  lgambdd  24808  chtublem  24981  chtub  24982  logfaclbnd  24992  bcmax  25048  chebbnd1lem2  25204  rplogsumlem1  25218  selberglem2  25280  selbergb  25283  chpdifbndlem1  25287  pntpbnd1a  25319  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntlemg  25332  pntlemr  25336  pntlemk  25340  pntlemo  25341  ostth2lem3  25369  smcnlem  27680  minvecolem3  27860  staddi  29233  stadd3i  29235  nexple  30199  fsum2dsub  30813  resconn  31354  itg2addnc  33594  ftc1anclem8  33622  pell1qrgaplem  37754  leadd12dd  39845  ioodvbdlimc1lem2  40465  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  stirlinglem8  40616  stirlinglem12  40620  fourierdlem4  40646  fourierdlem10  40652  fourierdlem42  40684  fourierdlem47  40688  fourierdlem72  40713  fourierdlem79  40720  fourierdlem93  40734  fourierdlem101  40742  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem111  40752  hoidmv1lelem2  41127  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  p1lep2  41639  fmtnodvds  41781  lighneallem4a  41850