MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leaddsub 10696
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 10690 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
213com13 1119 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
3 resubcl 10537 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
4 ltnle 10309 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
53, 4stoic3 1850 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
653com13 1119 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
7 readdcl 10211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 ltnle 10309 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
97, 8sylan2 492 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
1093impb 1108 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
11103coml 1122 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
122, 6, 113bitr3rd 299 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
1312con4bid 306 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  leaddsub2  10697  lesub  10699  lesub2  10715  subge0  10733  lesub3d  10837  div4p1lem1div2  11479  eluzp1m1  11903  eluzsubi  11907  fzen  12551  fznatpl1  12588  expmulnbnd  13190  hashdvds  15682  sylow1lem5  18217  gsumbagdiaglem  19577  voliunlem2  23519  itg2split  23715  dvfsumlem3  23990  pilem2  24405  logimul  24559  emcllem2  24922  chtublem  25135  dchrisum0re  25401  pntlemg  25486  crctcshwlkn0  26924  logdivsqrle  31037  poimirlem7  33729  totbndbnd  33901  binomcxplemnn0  39050  fmtnodvds  41966  lighneallem4a  42035  nnolog2flm1  42894
  Copyright terms: Public domain W3C validator