Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat2 35080
Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leatb 35078 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
6 orcom 401 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
7 neor 3019 . . . . . 6 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
86, 7bitri 264 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
95, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
109biimpd 219 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 → (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
1110com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋0 → (𝑋 𝑃𝑋 = 𝑃)))
1211imp32 448 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928   class class class wbr 4800  cfv 6045  Basecbs 16055  lecple 16146  0.cp0 17234  OPcops 34958  Atomscatm 35049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-preset 17125  df-poset 17143  df-plt 17155  df-glb 17172  df-p0 17236  df-oposet 34962  df-covers 35052  df-ats 35053
This theorem is referenced by:  dalemcea  35445  cdlemg12g  36435
  Copyright terms: Public domain W3C validator