Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat2 34058
Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leatb 34056 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
6 orcom 402 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
7 neor 2881 . . . . . 6 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
86, 7bitri 264 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
95, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
109biimpd 219 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 → (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
1110com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋0 → (𝑋 𝑃𝑋 = 𝑃)))
1211imp32 449 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  0.cp0 16958  OPcops 33936  Atomscatm 34027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-glb 16896  df-p0 16960  df-oposet 33940  df-covers 34030  df-ats 34031
This theorem is referenced by:  dalemcea  34423  cdlemg12g  35414
  Copyright terms: Public domain W3C validator