Theorem lecasei 10748

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
lecase.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lecase.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lecase.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
lecase.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
lecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem lecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lecase.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜓)
2		lecase.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
3		lecase.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lecase.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letric 10742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
7	1, 2, 6	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683

This theorem is referenced by:  wloglei  11174  nn2ge  11667  max0sub  12592  leabs  14661  max0add  14672  limsupgre  14840  ntrivcvgmul  15260  1arithlem4  16264  mndodcong  18672  metustto  23165  reconn  23438  dyaddisj  24199  volcn  24209  ditgcl  24458  ditgswap  24459  ditgsplit  24461  dvfsumlem3  24627  ftc2ditg  24645  coseq0negpitopi  25091  asinlem3  25451  atanlogaddlem  25493  atanlogadd  25494  ppiub  25782  dchrisum0  26098  pntrmax  26142  padicabv  26208  nacsfix  39316  acongrep  39584  hbt  39737