MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv1dd 12477
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
lediv1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lediv1dd (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
52, 3, 4lediv1d 12465 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶)))
61, 5mpbid 233 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  cle 10664   / cdiv 11285  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  aalioulem5  24852  aalioulem6  24853  cxp2lim  25481  cxploglim2  25483  fsumharmonic  25516  lgamgulmlem2  25534  lgamgulmlem5  25537  chpchtlim  25982  dchrmusum2  25997  dchrvmasumlem3  26002  dchrisum0fno1  26014  dchrisum0lem1  26019  dchrisum0lem2a  26020  mulogsumlem  26034  vmalogdivsum2  26041  2vmadivsumlem  26043  selberglem2  26049  selbergb  26052  selberg2b  26055  chpdifbndlem1  26056  logdivbnd  26059  selberg3lem1  26060  selberg4lem1  26063  pntrlog2bndlem1  26080  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem3  26082  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bnd  26087  pntpbnd1a  26088  pntpbnd2  26090  pntibndlem2  26094  dya2icoseg  31434  sxbrsigalem2  31443  knoppndvlem14  33761  knoppndvlem17  33764  hashnzfzclim  40531  oddfl  41419  lefldiveq  41435  sumnnodd  41787  wallispilem5  42231  dirkertrigeqlem3  42262  fourierdlem6  42275  fourierdlem7  42276  fourierdlem10  42279  fourierdlem30  42299  fourierdlem39  42308  fourierdlem47  42315  fourierdlem65  42333  fourierdlem79  42347  etransclem23  42419  flnn0div2ge  44521  dignn0flhalflem2  44604
  Copyright terms: Public domain W3C validator