MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov 25525
Description: Value of the less-than relationship. Definition 5.4 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a (𝜑𝐴𝑃)
legov.b (𝜑𝐵𝑃)
legov.c (𝜑𝐶𝑃)
legov.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑧,   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝐺   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   (𝑧)

Proof of Theorem legov
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . . 5 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
61, 2, 3, 4, 5legval 25524 . . . 4 (𝜑 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)))})
76breqd 4696 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ (𝐴 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)))} (𝐶 𝐷)))
8 ovex 6718 . . . 4 (𝐴 𝐵) ∈ V
9 ovex 6718 . . . 4 (𝐶 𝐷) ∈ V
10 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → 𝑓 = (𝐶 𝐷))
1110eqeq1d 2653 . . . . . 6 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → (𝑓 = (𝑥 𝑦) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦)))
12 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → 𝑒 = (𝐴 𝐵))
1312eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → (𝑒 = (𝑥 𝑧) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))
1413anbi2d 740 . . . . . . 7 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
1514rexbidv 3081 . . . . . 6 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → (∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
1611, 15anbi12d 747 . . . . 5 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → ((𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧))) ↔ ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))))
17162rexbidv 3086 . . . 4 ((𝑒 = (𝐴 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝐶 𝐷)) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))))
18 eqid 2651 . . . 4 {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)))}
198, 9, 17, 18braba 5021 . . 3 ((𝐴 𝐵){⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑓 = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ 𝑒 = (𝑥 𝑧)))} (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
207, 19syl6bb 276 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))))
21 anass 682 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))) ↔ (((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))))
2221anbi1i 731 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ↔ ((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) ∧ 𝑥𝑃))
23 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
245ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝑐𝑃)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑐𝑃)
28 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥𝑃)
29 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝑑𝑃)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑑𝑃)
31 legov.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑃)
3231ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝐶𝑃)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐶𝑃)
34 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧𝑃)
35 legov.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝑃)
3635ad5antr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝐷𝑃)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝐷𝑃)
38 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
391, 2, 3, 23, 25, 27, 30, 28, 33, 37, 34, 38cgr3swap23 25464 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → ⟨“𝑐𝑥𝑑”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
40 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑))
421, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39, 41tgbtwnxfr 25470 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
43 simplrr 818 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))
441, 2, 3, 23, 25, 27, 28, 30, 33, 34, 37, 39cgr3simp1 25460 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑐 𝑥) = (𝐶 𝑧))
4543, 44eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))
4642, 45jca 553 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) ∧ (𝑧𝑃 ∧ ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
47 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
48 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → 𝑥𝑃)
491, 47, 3, 24, 26, 48, 29, 40btwncolg3 25497 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → (𝑑 ∈ (𝑐(LineG‘𝐺)𝑥) ∨ 𝑐 = 𝑥))
50 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑))
5150eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → (𝑐 𝑑) = (𝐶 𝐷))
521, 47, 3, 24, 26, 29, 48, 23, 32, 36, 2, 49, 51lnext 25507 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 ⟨“𝑐𝑑𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑧”⟩)
5346, 52reximddv 3047 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5453adantllr 755 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑)) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5522, 54sylanbr 489 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
56 simprr 811 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))
57 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑)))
58 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑐 𝑥) = (𝑐 𝑧))
5958eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))
6057, 59anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))))
6160cbvrexv 3202 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))
6256, 61sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑥)))
6355, 62r19.29a 3107 . . . . 5 ((((𝜑𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
6463adantl3r 801 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))) ∧ 𝑐𝑃) ∧ 𝑑𝑃) ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
65 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
66 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑑) = (𝑥 𝑑))
6766eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑑)))
68 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑑))
6968eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑)))
70 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑧) = (𝑥 𝑧))
7170eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))
7269, 71anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
7372rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → (∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
7467, 73anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑥 → (((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))) ↔ ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))))
75 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑦 → (𝑥 𝑑) = (𝑥 𝑦))
7675eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑦 → ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑑) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦)))
77 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑦 → (𝑥𝐼𝑑) = (𝑥𝐼𝑦))
7877eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑦 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
7978anbi1d 741 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑦 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
8079rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑦 → (∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
8176, 80anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑦 → (((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))) ↔ ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))))
8274, 81cbvrex2v 3210 . . . . 5 (∃𝑐𝑃𝑑𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
8365, 82sylibr 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))) → ∃𝑐𝑃𝑑𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑐 𝑑) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑐𝐼𝑑) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑐 𝑧))))
8464, 83r19.29vva 3110 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
8531adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐶𝑃)
8635adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐷𝑃)
87 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐶 𝐷) = (𝐶 𝐷))
88 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
89 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 𝑦) = (𝐶 𝑦))
9089eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝐶 𝑦)))
91 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑦))
9291eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦)))
93 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 𝑧) = (𝐶 𝑧))
9493eqeq2d 2661 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
9592, 94anbi12d 747 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
9695rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
9790, 96anbi12d 747 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))) ↔ ((𝐶 𝐷) = (𝐶 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))))
98 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐷 → (𝐶 𝑦) = (𝐶 𝐷))
9998eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐷 → ((𝐶 𝐷) = (𝐶 𝑦) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝐶 𝐷)))
100 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝐷))
101100eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐷 → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
102101anbi1d 741 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐷 → ((𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
103102rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐷 → (∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
10499, 103anbi12d 747 . . . . 5 (𝑦 = 𝐷 → (((𝐶 𝐷) = (𝐶 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ↔ ((𝐶 𝐷) = (𝐶 𝐷) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))))
10597, 104rspc2ev 3355 . . . 4 ((𝐶𝑃𝐷𝑃 ∧ ((𝐶 𝐷) = (𝐶 𝐷) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
10685, 86, 87, 88, 105syl112anc 1370 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))))
10784, 106impbida 895 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 ((𝐶 𝐷) = (𝑥 𝑦) ∧ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝑥 𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
10820, 107bitrd 268 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  {copab 4745  cfv 5926  (class class class)co 6690  ⟨“cs3 13633  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  cgrGccgrg 25450  ≤Gcleg 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523
This theorem is referenced by:  legov2  25526  legid  25527  btwnleg  25528  legtrd  25529  legtri3  25530  legtrid  25531  leg0  25532  mideulem  25673  opphllem3  25686
  Copyright terms: Public domain W3C validator