MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov2 25227
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a (𝜑𝐴𝑃)
legov.b (𝜑𝐵𝑃)
legov.c (𝜑𝐶𝑃)
legov.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legov.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 legov.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 legov.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 legov.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 25226 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
125ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧𝑃)
159ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐷𝑃)
16 eqid 2610 . . . . . . 7 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
176ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐴𝑃)
187ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐵𝑃)
19 simprl 790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 25196 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21 simprr 792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))
2221eqcomd 2616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐶 𝑧) = (𝐴 𝐵))
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 25208 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
2412ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2513ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶𝑃)
2614ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧𝑃)
2715ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷𝑃)
2817ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴𝑃)
2918ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵𝑃)
30 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥𝑃)
31 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32 simpllr 795 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
3332simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 25171 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 25169 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 25163 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 𝐴) = (𝐷 𝐶))
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 25120 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))
3834, 37jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
3938ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4039reximdva 3000 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4123, 40mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
4241adantllr 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
43 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
44 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 𝑦) = (𝐶 𝑧))
4645eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4744, 46anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
4847cbvrexv 3148 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4943, 48sylib 207 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5042, 49r19.29a 3060 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
515ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
526ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐴𝑃)
53 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝑧𝑃)
547ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵𝑃)
558ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐶𝑃)
569ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐷𝑃)
57 simprl 790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 25198 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 25208 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
6151ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6252ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴𝑃)
6354ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵𝑃)
6453ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧𝑃)
6555ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶𝑃)
66 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦𝑃)
6756ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷𝑃)
68 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 25165 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70 simpllr 795 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
7170simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 25171 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 25163 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 𝐴) = (𝑦 𝐶))
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 25120 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))
7572, 74jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7675ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7776reximdva 3000 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7860, 77mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7978adantllr 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
80 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
81 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
8281eleq2d 2673 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
8483eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8582, 84anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))))
8685cbvrexv 3148 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8780, 86sylib 207 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8879, 87r19.29a 3060 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
8950, 88impbida 873 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
9010, 89bitrd 267 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  ⟨“cs3 13387  Basecbs 15644  distcds 15726  TarskiGcstrkg 25074  Itvcitv 25080  LineGclng 25081  cgrGccgrg 25151  ≤Gcleg 25223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-trkgc 25092  df-trkgb 25093  df-trkgcb 25094  df-trkg 25097  df-cgrg 25152  df-leg 25224
This theorem is referenced by:  legtri3  25231  legtrid  25232
  Copyright terms: Public domain W3C validator