MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov2 25526
Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legov.a (𝜑𝐴𝑃)
legov.b (𝜑𝐵𝑃)
legov.c (𝜑𝐶𝑃)
legov.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem legov2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . 3 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legov.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
7 legov.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
8 legov.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
9 legov.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9legov 25525 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
11 eqid 2651 . . . . . . 7 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
125ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
138ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐶𝑃)
14 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧𝑃)
159ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐷𝑃)
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
176ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐴𝑃)
187ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝐵𝑃)
19 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
201, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19btwncolg1 25495 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝑧 ∈ (𝐶(LineG‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
21 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))
2221eqcomd 2657 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (𝐶 𝑧) = (𝐴 𝐵))
231, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22lnext 25507 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
2412ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2513ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐶𝑃)
2614ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧𝑃)
2715ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐷𝑃)
2817ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐴𝑃)
2918ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵𝑃)
30 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑥𝑃)
31 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩)
32 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
3332simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
341, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33tgbtwnxfr 25470 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥))
351, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31trgcgrcom 25468 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩)
361, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35cgr3simp3 25462 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝑥 𝐴) = (𝐷 𝐶))
371, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))
3834, 37jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) ∧ ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
3938ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) ∧ 𝑥𝑃) → (⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4039reximdva 3046 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → (∃𝑥𝑃 ⟨“𝐶𝑧𝐷”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝑥”⟩ → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
4123, 40mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
4241adantllr 755 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
43 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
44 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ↔ 𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷)))
45 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐶 𝑦) = (𝐶 𝑧))
4645eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4744, 46anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧))))
4847cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
4943, 48sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑧)))
5042, 49r19.29a 3107 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
515ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
526ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐴𝑃)
53 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝑧𝑃)
547ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵𝑃)
558ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐶𝑃)
569ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐷𝑃)
57 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
581, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57btwncolg3 25497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝑧 ∈ (𝐴(LineG‘𝐺)𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
59 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))
601, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59lnext 25507 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
6151ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6252ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐴𝑃)
6354ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵𝑃)
6453ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑧𝑃)
6555ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐶𝑃)
66 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦𝑃)
6756ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐷𝑃)
68 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩)
691, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3swap23 25464 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → ⟨“𝐴𝐵𝑧”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝑦𝐷”⟩)
70 simpllr 815 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
7170simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧))
721, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71tgbtwnxfr 25470 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → 𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
731, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68cgr3simp3 25462 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐵 𝐴) = (𝑦 𝐶))
741, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73tgcgrcomlr 25420 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))
7572, 74jca 553 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩) → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7675ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑦𝑃) → (⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7776reximdva 3046 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → (∃𝑦𝑃 ⟨“𝐴𝑧𝐵”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐶𝐷𝑦”⟩ → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦))))
7860, 77mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
7978adantllr 755 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) ∧ 𝑧𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
80 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)))
81 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴𝐼𝑥) = (𝐴𝐼𝑧))
8281eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧)))
83 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑧))
8483eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8582, 84anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷))))
8685cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8780, 86sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑧𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑧) ∧ (𝐴 𝑧) = (𝐶 𝐷)))
8879, 87r19.29a 3107 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))) → ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)))
8950, 88impbida 895 . 2 (𝜑 → (∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
9010, 89bitrd 268 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑥) ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  ⟨“cs3 13633  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  cgrGccgrg 25450  ≤Gcleg 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523
This theorem is referenced by:  legtri3  25530  legtrid  25531
  Copyright terms: Public domain W3C validator