MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov3 26311
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
ltgov.a (𝜑𝐴𝑃)
ltgov.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . 4 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legso.a . . . 4 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
7 legso.f . . . 4 (𝜑 → Fun )
8 legso.l . . . 4 < = (( 𝐸) ∖ I )
9 legso.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
10 ltgov.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
11 ltgov.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 26310 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
1312orbi1d 910 . 2 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
14 simprl 767 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 26300 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
17 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1816, 17breqtrd 5083 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
20 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2114, 19, 20mpjaodan 952 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
22 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
23 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
2423neqned 3020 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))
2522, 24jca 512 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)))
2625ex 413 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2726orrd 857 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) ∨ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2827orcomd 865 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2921, 28impbida 797 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)))
3013, 29bitr2d 281 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  wss 3933   class class class wbr 5057   I cid 5452   × cxp 5546  dom cdm 5548  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  ≤Gcleg 26295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-leg 26296
This theorem is referenced by:  legso  26312
  Copyright terms: Public domain W3C validator