MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legov3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legov3 25388
Description: An equivalent definition of the less-than relationship, from the strict relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legso.a 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
legso.f (𝜑 → Fun )
legso.l < = (( 𝐸) ∖ I )
legso.d (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
ltgov.a (𝜑𝐴𝑃)
ltgov.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
legov3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))

Proof of Theorem legov3
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . 4 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
6 legso.a . . . 4 𝐸 = ( “ (𝑃 × 𝑃))
7 legso.f . . . 4 (𝜑 → Fun )
8 legso.l . . . 4 < = (( 𝐸) ∖ I )
9 legso.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃 × 𝑃) ⊆ dom )
10 ltgov.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
11 ltgov.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ltgov 25387 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
1312orbi1d 738 . 2 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
14 simprl 793 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
151, 2, 3, 4, 5, 10, 11legid 25377 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
17 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1816, 17breqtrd 4644 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
20 simpr 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2114, 19, 20mpjaodan 826 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
22 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
23 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
2423neqned 2803 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))
2522, 24jca 554 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) ∧ ¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)))
2625ex 450 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (¬ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2726orrd 393 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → ((𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷) ∨ ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷))))
2827orcomd 403 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
2921, 28impbida 876 . 2 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) ≠ (𝐶 𝐷)) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷)))
3013, 29bitr2d 269 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ((𝐴 𝐵) < (𝐶 𝐷) ∨ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  wss 3560   class class class wbr 4618   I cid 4989   × cxp 5077  dom cdm 5079  cres 5081  cima 5082  Fun wfun 5844  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  distcds 15866  TarskiGcstrkg 25224  Itvcitv 25230  ≤Gcleg 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-s2 13525  df-s3 13526  df-trkgc 25242  df-trkgb 25243  df-trkgcb 25244  df-trkg 25247  df-cgrg 25301  df-leg 25373
This theorem is referenced by:  legso  25389
  Copyright terms: Public domain W3C validator