MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloe 10068
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 10060 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 eqcom 2628 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi1i 542 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 orcom 402 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
53, 4bitri 264 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
6 axlttri 10053 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
76ancoms 469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
87con2bid 344 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
95, 8syl5rbbr 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cr 9879   < clt 10018  cle 10019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024
This theorem is referenced by:  ltle  10070  leltne  10071  lelttr  10072  ltletr  10073  letr  10075  leid  10077  ltlen  10082  leloei  10098  leloed  10124  lemul1  10819  lemul1a  10821  squeeze0  10870  fimaxre  10912  sup3  10924  nn0ge0  11262  nn0sub  11287  elnn0z  11334  xlemul1a  12061  modfzo0difsn  12682  om2uzlti  12689  om2uzlt2i  12690  sqlecan  12911  discr  12941  facdiv  13014  facwordi  13016  resqrex  13925  sqrt2irr  14903  lcmf  15270  efgsfo  18073  efgred  18082  itg2mulc  23420  itgabs  23507  dgrlt  23926  sinq12ge0  24164  sineq0  24177  cxpge0  24329  cxplea  24342  cxple2  24343  cxple2a  24345  cxpcn3lem  24388  cxpcn3  24389  cxpaddlelem  24392  cxpaddle  24393  ang180lem3  24441  atanlogaddlem  24540  rlimcnp2  24593  jensen  24615  amgm  24617  htthlem  27623  hiidge0  27804  staddi  28954  stadd3i  28956  poimirlem28  33069  itgaddnclem2  33101  itgabsnc  33111  pellfund14gap  36931  sineq0ALT  38656  icccncfext  39404  ltnltne  40610  iccpartnel  40672  odz2prm2pw  40774  gboge7  40946  bgoldbtbndlem1  40982  elfzolborelfzop1  41597
  Copyright terms: Public domain W3C validator